Здравствуйте, Кирилл.
Современная логика занята многими вопросами. Это и построение формальных систем и логика правдоподобных рассуждений, а также логика вопросов и ответов, логика человеческого языка, логическая семиотика, логическая методология.
Также разрабатываются варианты многозначной логики, много вопросов вызывают модальная логика, логика оценок.
Больше всего направлений исследования, мне кажется, связано с вопросами основания математики. Именно логицизм, формализм, конструктивизм и др. предстают как возможные расширения классической бинарной логики.