Может ли из-за депрессии хуже работать мозг? Хуже память, способность обучения, логика и т.п?

Может. Причём в некоторых случаях в самом деле, так как биохимия в мозгу страдает (органически, и это может объяснять и депрессию); а в других случаях - это характерные при депрессии верования в беспомощность и бессилие, которые угнетают психические функции сугубо субъективно.