Все просто. Питомец это большая ответственность. И, очевидно мама не считает вас ответственным человеком. Она боится, что с появлением питомца ей придется кормить его, убирать за ним, гулять и т.д. Чтобы она согласилась, вам всего лишь требуется показать маме, что вы уже повзрослели и способны отвечать за себя и за близких. Устройтесь на работу, чтобы зарабатывать деньги (вам ведь придется покупать как минимум корм для питомца, а еще всякие гаджеты, ветеринар, стрижка...!), каждый день делайте уборку в доме (за питомцами нужен уход!), и главное - всегда соблюдайте данные обещания. Сказали, что сделаете что-то или придете домой во-столько то - значит нужно сделать и прийти! А не забыть или объяснять почему не смогли..
Если полгода выдержите эти простые правила, мама увидит что вы взрослый человек, отвечаете за свои слова и если обещаете, что все проблемы с питомцем будут на вас, значит обещание вы сдержите. Тогда наверняка она вам разрешит.
Ну или подождите пока сможете жить отдельно от мамы и никого не спрашивать. Хотя и в этом случае, все эти правила тем более придется выполнять...