В чём разница между такими профессиями как космолог, астроном и астрофизик?

В астро тусовке есть некое внутреннее разграничение. Не знаю, насколько оно распространяется за пределы этой тусовки. 

Астрономы - это в основном непосредственно наблюдатели. Их готовят на специальных факультетах. По моим ощущениям, физику они знают плохо, зато обязаны хорошо знать звездную механику и какую-то с этим связанную математику. Они должны знать все детали наблюдений, калибровки приборов, i.e., спектрометров и телескопов и прочую неинтересную (для меня) информацию. В основном они наблюдают какие-то звезды, галактики, скопления, туманности; и на выход дают необработанную или очень слабо обработанную информацию, разбираться в которой уже будут астрофизики. 

Среди астрономов есть и инструменталисты, которые разрабатывают, проектируют и сами строят всякие инструменты, типа спектрометров и телескопов, пишут софты и т.д. Этот бранч постепенно становится более специализированным, так как большие миллиардные эксперименты требуют всё-же профессиональных инженеров и программистов. Однако, в частности в области проектов сетей телескопов для нахождения экзопланет, до сих пор есть люди, которые сами буквально своими руками собирают проекты, хард, софт и что-то с этим делают.

Астрофизики бывают как наблюдателями, так и теоретиками. 

В отличие от астрономов, астрофизики наблюдатели непосредственно сами наблюдения не делают, а работают уже с полученными данными: как-то их структурируют, обрабатывают и проверяют какие-то свои или не свои теории. Они стоят где-то на грани наблюдений и теории и, в принципе, должны неплохо разбираться и там и там. 

Астрофизики теоретики (я интенсивно учусь и работаю, чтобы в будущем иметь право таковым называться), в зависимости от того над чем работают, в основном люди с физическим бэкграундом. По большей части это бэкграунд в физике плазмы или гравитации, реже в физике частиц. Последние в основном занимаются теорией космических лучей. Огромную часть времени теоретики кодят (особенно сейчас) или ждут результатов симуляций :) - это может занять от нескольких дней до недели, в зависимости от перегруженности очереди на суперкомпьютер. С наблюдениями теоретики имеют очень слабое соприкосновение, разве что для того чтобы проверить, проходит ли смоделированный график через точки, полученные наблюдениями. 

В целом астрофизики как наблюдатели так и теоретики изучают конкретные объекты, типа галактик, активных ядер, нейтронных звезд и карликов, обычных звезд и т.д. Либо же пытаются описать какие-то определенные физические механизмы, например механизмы ускорения космических лучей или возникновения гамма-всплесков. 

Космологи, напротив, мало интересуются конкретными объектами, а в основном их интересуют общие вещи, связанные с общей динамикой Вселенной, её расширением и возникновением (плюс развитием в ранних стадиях), темной энергией и темной материей.

Космологи наблюдатели занимаются примерно тем же, чем астрофизики наблюдатели, только в своём кругу интереса. В основном это обработка данных спектра космического микроволнового фона, линзирование галактик на темной материи, статистика по далёким галактикам, включая image recognition, который автоматизированно помогает обнаруживать эти самые галактики, и так далее. 

Теоретики в космологии работают либо над чем-то похожим на астрофизиков, т.е. плазмой в ранних стадиях Вселенной, распространением, диффузией галактик и т.д. Т.е. в основном это тоже какое-нибудь моделирование (subgrid), например Millenium Simulation. 

Либо, другая часть теоретиков занимается теорией поля, т.е. фактически это специалисты по физике частиц и КТП: это экзотические поля и симметрии, теория возникновения Вселенной (инфляция), теория темной материи и темной энергии и может еще какие-то штуки, которые я пропустил. В целом, это та малая часть астрофизики/космологии, которая не очень-то ей и является, но которую все (не учёные) почему-то знают больше всего.

Вот как-то так. Есть еще сейчас выделяющаяся, популярная сейчас область astroparticle physics, это в основном теория и наблюдения космических лучей, космических нейтрино (эксперимент IceCube), гамма высоких энергий (FERMI/LAT) и т.д. Фактически же, это что-то между астрофизикой и физикой частиц.

Стоит, конечно, отметить, что это разграничение очень смутное, есть много людей, которые работают как в одной, так и в другой группе: начинают карьеру как теоретики, а заканчивают, проектируя CCD для Sloan Digital Sky Survey. При этом, надо тоже понимать, что есть наблюдатели, которые теорию знают гораздо лучше многих теоретиков и наоборот. Поэтому к этому разграничению надо относится чисто символически.