Микола Булименко
17 октября 04:32.
94892

Ученые доказали, что сумма всех натуральных чисел равна -(минус)1/12 — как сумма положительных чисел ушла в минус?

Ответить
Ответить
Комментировать
4
Подписаться
22
9 ответов
Поделиться

Это специальные методы суммирования расходящихся рядов, а не сумма в традиционном понимании. Тут много всякой математики, которую я и сам не до конца понимаю, но для простоты можно сказать, что это некие способы приписывания некоторых конечных значений расходящимся рядам, что позволяет с этими расходщимися рядами работать. Это бывает нужно в разных областях математики и теоретической физики. 

Смысл в том, что существует определенный алгоритм, а точнее алгоритмы, которые позволяют однозначно приписать данному расходящемуся ряду некоторое конечное значение, причем эти значения не только единственны для каждого из рядов (если пользоваться одним и тем же алгоритмом), но и позволяют осмысленно сравнивать эти ряды между собой, например, по "скорости" расхождения и т.д.

Просто вот сумма ряда натуральных чисел в классическом понимании - это бесконечность, но у многих других рядов она тоже бесконечность. Например, у суммы факториалов натуральных чисел. Если мы построим график k-ых сумм от k для двух этих рядов, то это будут разные графики. Получается аналитическое выражение для этих рядов разное, частичные суммы разные, а сумма одинаковая. Что-то здесь не так. Вот отсюда и пошли методы расширительного, неклассического понимания суммы рядов.

110

Уличная математика

+30
Ответить

Можно добавить, что скорее всего имеется в виду не сумма в прямом ее понимании, а некий предел, к которому данный ряд стремится.

-4
Ответить

Эдуард, расходящийся ряд на то и расходящийся, что, по определнию, не существет предела частных (n-ый) сумм ряда при n -> +inf

+9
Ответить
Ещё 12 комментариев

"аналитическое выражение для этих рядов разное, частичные суммы разные, а сумма одинаковая"

Некорректный вывод, для бесконечности не введено понятие равенства. Можно сравнивать характеристики ряда, например, порядок роста членов/суммы, но не две бесконечности.

+1
Ответить

Так, если ряд расходится, то он не может быть равен конечному числу?

0
Ответить

Юрий, так вам же написали, что имеется в виду не сумма в прямом ее понимании. Предела частных сумм то не существует, но может существовать какой-нибудь другой предел, сопоставленный с этим рядом, и этот предел называют суммой «в чьем-то понимании» или «по кому-то».

0
Ответить

Никита, сам ряд вообще не может быть чему-то равен. Вот сумма ряда может. И если считать, что сумма ряда — это предел последовательности частичных сумм, то она не может быть равна конечному числу в случае, если ряд расходится.

0
Ответить

Ефим, ну, я это и имел в виду, сумму ряда, а не сам ряд. Так выразился просто.

0
Ответить

Читаю и ничего не понимаю, удивляюсь, потом вспоминаю, что я гумунитарий и сразу так легко стало на душе

+14
Ответить

Мой гуманитарный мозг сломался 😕

+11
Ответить

Ещё проще говоря - -1/12 вообще не сумма, а число, отражающее скорость возрастания суммы ряда, в данном случае натуральных чисел.

+5
Ответить

Всё равно ничего не понял.

+3
Ответить

Нихуя не поняла 😃

0
Ответить

В теории всего вроде как используются эти методы, дабы избавиться от бесконечностей. Ну, тип по используемым формулам получается, что напряженность поля электрона при бесконечном приближении к его поверхности стремится к бесконечности, и у звезд таким макаром получается бесконечность. Че-то не так...

0
Ответить

Кто так и не понял, тут надо понимать, что ряд - это самостоятельное математическое понятие, а не просто множество, и сумма ряда - это не то же самое, что сумма слагаемых.

0
Ответить
Прокомментировать

вот https://habrahabr.ru/post/53883/, еще нашел красивое и простое обоснование. Как я понимаю, дзета-функция Римана позволяет вводить обобщение над обычным суммированием и сопоставлять расходящимся рядам конечные числа. Ничего необычного, просто надстройка (обобщение) над общепринятыми понятиями

Антон Климовотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
23
Прокомментировать

На самом деле, в соответствии с нормальной (обычной) математикой, сумма ряда (грубо говоря, бесконечного количества чисел) натуральных чисел не равна -(1/12), этот ряд расходится (то есть не равен какому-то определённому числу). Объяснить это можно, вспомнив самое простое определение суммы ряда: она — предел сумм первых n членов ряда (то есть предел Sn при n стремящимся к бесконечности, Sn=A1+A2+A3+...+An, Ak —k-тый член ряда). В случае с рядом натуральных чисел у суммы нет предела (бесконечность — не предел, ряд стремится к бесконечности.

Если предела нет, сумма, если с ней работать, как с числом, может оказаться равной чему угодно просто потому, что если бы это было бы не так и бесконечность можно было бы рассматривать в качестве числа, мы могли бы, например, из бесконечности вычесть 1 и "получить" половину этой бесконечности (бесконечность, бесконечность-1 и пол-бесконечности равны), после чего сказать, что бесконечность равна двум, что, конечно, не так.

Подытожу: на самом деле сумма всех натуральных чисел, конечно, бесконечна, из-за чего, проворачивая с ней разные арифметические операции можно получить, что она равна какому-то натуральному числу.

Михаил Саминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
16
+6
Ответить

это я про "бесконечность не предел" если что

0
Ответить

"В случае с рядом натуральных чисел у суммы нет предела (бесконечность — не предел, ряд стремится к бесконечности." 

Я поправлю. На самом деле для сходящегося ряда необходимо наличие конечного предела! Конечный предел - это числа. Бесконечность тоже предел. А вот например ряд 1-1+1-1.. предела не имеет. Так что бесконечность определенно предел, т.к. понятия бесконечности без предела не существует.

0
Ответить
Прокомментировать
Читать ещё 6 ответов
Ответить