Anna Chalyuk
апрель 2016.
8235

Что больше: 1/3 или 0,(3)?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
4 ответа
Поделиться

Эти два числа равны:

Пусть A = 0.(3). Тогда 10*A=A+3 => 9A=3 => A=1/3, что и требовалось доказать.

Коротко о других ответах - использование формулы, и правда, хорошо было бы объяснить; индукция работает только для заранее заданного счётного множества чисел, перейти в бесконечность нельзя, лучше было бы оперировать пределами и/или суммой ряда; ответ Ефима вряд ли может считаться строгим.

Михаил Саминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
10
-4

Вот ваше это 10A = A + 3 тоже трудно назвать строгим. Более того, не во всех аксиоматиках это вообще так работает.

Вот если рассуждать строго, то сначала нужно обозначить, что 10A = A + ... + A. Сумма - есть предел последовательности Cₙ = Aₙ + ... + Aₙ. C₁ = 3, C₂ = 3.3, ... ⇒ Cₙ = 3.333...{n-1}. Переходя к пределу получим 3.(3).

Теперь докажем 10A - A = 3. По определению, 10A - A = 10A + (-A). Переходим к пределу последовательности Bₙ + (10A)ₙ + (-A)ₙ. B₁ = 3, B₂ = 3, ... ⇒ Bₙ = 3.

Можно, конечно, рассуждать и по-другому, используя аксиоматику Кантора или Дедекинда.

P.S. По прежнему считаю свой ответ (как и ваш, кстати) достаточно строгим, только упускающим некоторые детали.

+2
Ответить

Может быть, Вы и правы, я привёл наиболее понятный, как мне кажется, ответ.

Да, я пропустил, почему A*10=A+3, но это объясняется достаточно просто, через "детское" определение периода и следствие из определения систем счисления - при умножении на 10 в десятичной системе счисления запятая "сдвигается" вправо, что даёт 3,(3), что равно 3+0,(3). С точки зрения нормальной математики это - не совсем строго, но на TheQuestion хороший ответ не обязан содержать строгое доказательство, хотя он должен быть понятен тем, кто "не в теме".

+1
Ответить

Mikhail, да, я считаю точно так же.

+1
Ответить
Прокомментировать

Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную: 0,(6) = 0,6666...=6/10 + 6/100 + 6/1000 +... = (6/10)/(1-(1/10))=2/3, что и требовалось доказать. Доказательство построено на нахождении суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии, где b(1) = 6/10 — первый член прогрессии и q = 1/10 — знаменатель прогрессии. Сумма же находится по формуле: S=b(1)/(1-q). Вроде бы простое доказательство, не правда ли?

Для 1/3 и 0,(3), дабы более не возникало вопросов:

0,(3) = 0,3333... = 3/10 + 3/100 + 3/1000 +... = (3/10)/(1-(1/10)) = 1/3.

3
0

Да, я уже когда написал свой ответ, подумал, что это доказательство как-то нагляднее получается. Хотя по сути оно и не отличается - просто все действия запихнуты в формулу для прогрессии.

+1
Ответить

Угу

Просто решил наиболее простой и наглядный вариант предложить, дабы уже ни у кого путаницы не возникало)

0
Ответить
Прокомментировать

Это абсолютно одинаковые числа, только записанные по-разному.

Это несложно показать. Если мы умножим обе эти записи на 3, то получим 1 и 0.(9). А это одинаковые числа. Потому что их разность равна нулю. Действительно,
1 - 0.9 = 0.1 | 1 - 0.99 = 0.01 | 1 - 0.999 = 0.001 | 1 - 0.99...{n} = 10^(-n)

При n = ∞ получим 10^(-n) = 0. Таким образом, 1 - 0.(9) = 0.

5
-5

Ну даже не знаю. Переход от предела к равенству не самая тривиальная операция.

0
Ответить

Alexander, вполне тривиальная. Если равенство верно для любого n, то будет верно и для любого предела. 

Конечно, если совсем загнаться, можно спросить, будет ли получившийся предел являться разностью 1 и бесконечной десятичной периодической дроби. Но в соответствии с общепринятым определением именно так и есть. Поэтому мы и заключаем их равенство исходя из их нулевой разности.

Часто для построения аксиоматики(например, по Вейерштрассу) пользуются другим определением равенства бесконечных десятичных дробей (просто потому что оно более удобно), а именно ∀n∈ℕ |(α)ₙ - (β)ₙ| ≤ 10⁻ⁿ. Но для популярного объяснения оно подходит хуже.

+1
Ответить

Ефим, умножать 0.(3) на 3 не совсем корректно, потому что то в математике нельзя просто сказать "это очевидно работает именно так". То, что 0.(3)*3=0.(9) объясняется так и только так - 0.(3)*3=(1/3)*3=1=0.(9), другими словами, Ваше доказательство, по сути, ссылается само на себя.

0
Ответить
Ещё 1 комментарий

Mikhail, не согласен. Можно, конечно, спорить, какое из определений «более общепринятое», но в аксиоматике Вейерштрасса, на которую я уже ссылался (и которая, имхо, наиболее простая для понимания), сумма двух бесконечных десятичных дробей α и β определяется как предел последовательности (α)ₙ + (β)ₙ. В соответствии с определением умножения 3α = α + α + α, а значит, представляет из себя предел последовательности (α)ₙ + (α)ₙ + (α)ₙ, что в нашем случае как раз дает 0.(9).

+1
Ответить
Прокомментировать

По определению 0.(3) - число, полученное дописыванием к "0." бесконечного числ троек. 

Покажем, что это то же самое, что 1/3 с помощью математической индукции. База: 1/3 = 0.1 * 10/3 = 0.1 * (3 + 1/3) = 0.3 + 0.1 * 1/3 = 0.33 + 0.01 * 1/3. Утверждение: 1/3 = 0.(3)^k+10^(-k) * 1/3 для любого k. Это верно для k=1. Пусть это верно для k=n-1, тогда 1/3 = 0.(3)^(n-1)+10^(-(n-1))*1/3 = 0.(3)^(n-1)+10^(-n)*(3+1/3) = 0.(3)^(n-1) + 3*10^(-n) + 10^(-n) * 1/3 = 0.(3)^(n)+10^(-n) * 1/3. Что и требовалось доказать.

В силу того, что на каждом шаге остаток положителен и меньше 10^(-k), получаем, что он не сможет изменить первые k цифр, а значит, однажды определив в таком приближении k-ую цифру, мы можем сказать, что именно она будет в "истинной" десятичной записи числа 1/3. Это окончательно доказывает, что 1/3 = 0.(3)

Александр Кульковотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
2
-5

Ваше доказательство использует то, что 0.(3) равно сумме ряда An=3*(10^-n), и это - не индукция (с её помощью можно доказать что-либо только для счётного множества чисел, например, для всех натуральных, переход к бесконечности не совсем корректен, бесконечность - не число, хотя функция может к ней стремиться).

-1
Ответить

Ну я к счетному множеству n её и применяю, что не так? И  где я использую сей факт, кстати?

0
Ответить

Михаил, мне не стоит ожидать ответа?

0
Ответить
Ещё 1 комментарий

Alexander, по мне так все нормально, правда читается тяжеловато)

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью