Кирилл Семенов
март 2016.
2734

В чем суть теории множеств и в чем ее противоречия (простыми словами для гуманитария)?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
2 ответа
Поделиться

Суть теории множеств заключается в рассмотрении и изучении множеств, где под множеством понимается некоторое количество (отдельно рассматривается пустое множество) различимых (один можно отличить от другого) и попарно различных (любые два отличаются друг от друга) объектов произвольной природы, именуемых в данном контексте элементами или иногда точками множества. Полную историю теории множеств можно легко загуглить. Первая созданная теория множеств из за некоторого количества возникающих парадоксов получила название "наивная теория множеств", но в последствии была переработана и дополнена необходимыми аксиомами. 

Классический парадокс теории множеств возникает когда речь заходит об особом множестве-множество всех множеств. Существует теорема которая гласит, что для каждого множества А можно рассмотреть множество B всех его подмножетсв (каждая точка B отождествляется с определенным набором точек А, всего таких наборов=количество элементов в В=2^|A|, где |A|=количество точек в А) причем как следствие количество элементов в В больше чем в А. Простым языком для любого множества можно построить множество которое содержит больше элементов чем в исходном, как пример это может быть множество его подмножеств. Парадокс возникает когда мы рассматриваем в вышеописанной теореме в качестве А, упомянутое выше множество всех подмножеств. Логика нарушается потому что множество всех множеств явно не содержит в себе множество всех своих подмножеств, как минимум потому что меньше его по количеству элементов. Стоит отметить что существует немало других парадоксов, например https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B5%D0%BB%D0%B0,https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%B4%D0%BE%D0%BA%D1%81_%D0%91%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%B8-%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B8.

2
-2
Прокомментировать
АВТОР ВОПРОСА ОДОБРИЛ ЭТОТ ОТВЕТ

Евгений, во-первых, никакое множество не содержит множества всех своих подмножеств, так как по теореме Кантора: неверно,что |P(A)|<=|A|. Так что Ваш комментарий к парадоксу Рассела не совсем корректен.

А теперь этот же парадокс проще(без математических выкладок) и нагляднее.
Вот одна из "нематематических" формулировок этого феномена, или парадокс брадобрея:
В деревне живёт брадобрей, который бреет только тех, кто не бреется сам. Вопрос: бреет ли брадобрей сам себя? Если мы ответим "нет", получим что деревенский цирюльник не бреется самостоятельно, следовательно, он должен брить себя - противоречие. Если же он бреется сам, то получается он оказывается среди своих клиентов, которые не должны бриться самостоятельно - тоже противоречие.
(Если Вам будет интересно, я могу написать более строгое математическое обоснование)

Теория множеств была создана с целью формализовать само понятие "множества" и операций над ними. Существует аксиоматика теории множеств ZFC, в частности включающая в себя аксиому выбора (гласит, что мы можем найти множества с некоторым свойством) И вот что интересно! Можно построить две разные математики, если мы принимаем эту аксиому, и если мы не верим в неё.

Ещё любопытный факт из теории множеств: все числа "состоят из ничего". Определим натуральные числа.
0) Ноль - это ничего {@} //буду обозначать так пустое множество
1)Единичка - множество, состоящее из одного элемента и ничего, те {@}
2) Двойка 2={0, 1} = {@,{@
Ваша оценка "4" в зачётке это 4={0,1,2,3}
{@, {@}, {@,{@,{@,{@,{@,{@,{@ (надеюсь, не ошиблась)
Всё из ничего.. :)

В теории множеств ещё много любопытных вопросов (иногда открытых) и парадоксов.

4
-5

Позорище.

+2
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью