Максим Ломазов
ноябрь 2017.
6189

Можно ли объяснить гипотезу Пуанкаре «на пальцах»?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
10
5 ответов
Поделиться

Если совсем просто - то:

1. Имеем воздушный шарик БЕЗ дырки, через которую происходит его надувание - аналог трехмерной сферы.

2.Имеем полое замкнутое тело, например, тарелку, стакан, куб, карандаш, дверь без ручек.

Необходимо доказать, что поверхность этого тела топологически является аналогом сферы, т.е. после проведения определённых деформаций, не вызывающих разрывов данной поверхности, поверхность принимает форму сферы и на этой поверхности действуют те же математические законы, что и на сфере, описываемые теми же функциями в топологии.

Доказательство "для чайников": помещаем тело внутрь нашего воздушного шарика, откачиваем воздух - шарик принимает форму поверхности данного тела, при этом оставаясь шариком, т.е. сферой, для которой по прежнему применимы те же законы, что и для сферы до её деформации.

Если же посложнее - то если возможно установить однозначное соответствие между точками сферы и точками некой трехмерной поверхности с сохранением условия непрерывности, т.е. соседства точек на поверхности и на сфере - для этой поверхности применимы законы, применимые для сферы.

Примерно так:)

Представим, что объекты, которыми мы оперируем - сделаны из бесконечно растяжимой и сжимаемой резины. Тогда гипотеза Пуанкаре состоит в том, что любой объект, без дырок внутри, можно сжать(растянуть) в шар. Дополнительные оговорки в условии - для людей математического склада, которые сразу зададут особые вопросы, навроде "а если замыкание (грубо говоря - граница) многообразия ему не принадлежит?"

Ответ художницы содержит фактические ошибки: "трёхмерной сфере (сфере, похожей на бублик с дыркой)" - ЩИТО??! Сфера - это не тор (который похож на бублик с дыркой). Гомеоморфный - значит, совпадающий до НЕПРЕРЫВНОГО взаимно-однозначного преобразования. Тор - НЕ гомеоморфен сфере

Я бы с прохладой относился к "философским" излияниям на таком "фундаменте"

Владимир Шоминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии

Грубо говоря, любой предмет в нашем (трехмерном) мире, в котором нет дырок (как ножницы) можно рассматривать как сферу. Даже более того, любой предмет в n-мерном пространстве можно рассматривать как n-мерную сферу. На самом деле, у подобного предмета не должно быть границ, но как доступно объяснить ещё и это, я не знаю. 

Показать ещё 2 ответа
Ответить