Какую роль играет калибр оружия/патрона? В чем особенность каждого калибра?

Смысл калибра самого по себе -- типизация производства. Чтобы для каждой винтовки или пистолета не надо было клепать свои патроны, характеристики которых пришли в голову изобретателю оружия. 

Допустим, вы разрабатываете оружие. Выбор какого-либо калибра зависит от нескольких факторов: 

1. Кинетическая энергия пули при вылете из ствола. 
   Скорость пули зависит от длины ствола и от площади, на которую воздействуют пороховые газы. То есть, чем больший диаметр имеет пуля, тем быстрее она разгоняется и чем большую длину имеет ствол, тем длиннее её путь разгона. И, поскольку кинетическая энергия -- это 1/2*масса пули * скорость пули^2, то калибр выбирается путём балансирования между этими величинами. Например, почему у пистолетов делают относительно широкие пули (самый распространённый -- 9мм) : потому что длина ствола маленькая и, соответственно, разгоняться негде. А у винтовок чаще всего можно встретить 5.56 и 7.62-миллиметровые пули. Последний -- скорее даже пулемётный или снайперский. Таким образом мы переходим ко второму пункту.

2. Дальность выстрела и настильность траектории. Чтобы пуля летела дальше, нужно чтобы она меньше теряла свою скорость под действием сопротивления воздуха. Для этого она должна иметь меньший диаметр. То есть, тут ситуация как с разгоном пули, но противоположная. И если вам нужен пистолет, пистолет пулемёт или всё что угодно, что пригодится в ближнем бою, то лучше сделать пулю с большим диаметром, поскольку в начале импульс будет большой, а потом будет быстро теряться из-за аэродинамических свойств пули. А если вам надо стрелять далеко, то тут лучше выбрать меньший калибр и сделать подлиннее ствол. 

3. Вес амуниции. Тут всё понятно, чем шире и массивнее пули, тем больше всё это дело весит. И тому же самому пулемётчику будет гораздо лучше тащить 1000 патронов калибром 7.62, чем 700 с калибром 9мм. 
4. Отдача. Не забывайте, что весь импульс пули прилетит вам в руку\плечо, только в "рассеяном" виде. Со снайпескими винтовками и пулемётами с этим посвободнее, поскольку у них часть импульса уходит в землю через сошки или напрямую (мало кто стреляет из пулемёта без опоры, а из снайперской винтовки и подавно: очень страдает точность). Также приклад передает энергию вашему телу, а не рукам, что на точности сказывается благоприятно. А вот у пистолетов весь импульс уходит вам в руку. Это влияет и на точность, и на скорострельность (чтобы снова прицелиться нужно время). Так что тут опять надо находить баланс.
   От задачи, которое должно выполнять ваше оружие зависят показатели этих факторов, а от этих показателей зависят характеристики вашего оружия (длина ствола и его толщина), а от этого, в свою очередь, зависит выбор калибра. Ну и от распространённости калибра, потому что чем больше его производят, тем он дешевле и легкодоступнее.