Веб-программирование разное бывает. Сейчас сформировалось четкое разделение на front-end и back-end. Определитесь с предпочтениями — что вам ближе, чего хотелось бы.
Front-end — это работа с тем, что пользователь будет видеть у себя в браузере — вёрстка и программирование внешнего вида сайта или веб-приложения. Начинать с html, css, потом можно подключать js как станет более-менее ясно.
Back-end — разработка приложения-сервера — работа с данными, потрясающая работа если у вас системный, математический склад ума. Начинать можно с node-js — простой язык, много готовых модулей и более-менее актуально.
Ну а дальше Гугл в помощь — веб-технологии тем круты, что браузеры бесплатны, инструменты в основном open source и есть миллионы отличных бесплатных уроков, обучающих статей, дешевых онлайн-курсов. Вполне реально вырасти до профессионала только за счет информации из интернета. Я бы даже сказал, что лучше начать с проверенного https://www.codecademy.com/ чем вываливать деньги за курсы непонятного разработчика, который приучит к своим плохим привычкам (таких сейчас на удивление много развелось).