Задачи по университетскому курсу функана лучше всего задавать на
Q&A for people studying math at any level and professionals in related fields
Но ответ - да. Пусть M - неизмеримое по Лебегу подмножество отрезка I=[0,1]. Рассмотрим функцию f, равную 1 на М и -1 вне его. Тогда f² = 1 тождественно на I, но сама f не измерима, поскольку неизмеримо множество точек {x: f(x) > 0} = M.