Sophia Sea
февраль 2016.
866

В чем различие между евклидовой и различными неевклидовыми геометриями(например,Лобачевского)?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
1 ответ
Поделиться

На этот вопрос можно ответить несколькими разными способами.

Способ первый - аксиоматический. Евклид - это такой античный математик, который считается автором мощного труда геометрии. Этот самый Евклид использовал аксиоматический подход к изложению геометрии. Что такое аксиома? Это некоторое утверждение, которое не доказывается. Просто принимается как верное. Евклид постулировал несколько аксиом и опираясь на них доказывал различные утверждения, а потом доказывал ещё утверждения, опираясь на уже доказанные. (При этом он конечно пользовался определёнными логическими правилами.) Более подробно про то, что накатал Евклид https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B0%D1%87%D0%B0%D0%BB%D0%B0_(%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4) Аксиомы обычно называют постулатами:

1) От всякой точки до всякой точки можно провести прямую.

2) Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать по прямой.

3) Из всякого центра всяким радиусом может быть описан круг.

4) Все прямые углы равны между собой.

5) Если прямая, пересекающая две прямые, образует внутренние односторонние углы, меньшие двух прямых, то, продолженные неограниченно, эти две прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых.

Геометрия, которая выводится из этих постулатов и называется евклидовой геометрией. Очень долго (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%BF%D0%B0%D1%80%D0%B0%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0) пятый постулат мозолил глаза геометрам: его пытались вывести из первых четырёх, но ничего не получалось. Как оказалось неспроста - пятый постулат не выводится из первых четырех. Например, это смог показать Лобачевский - российский математик XIX века. Он показал, что если пятый постулат заменить его отрицанием, то (действуя как Евклид в началах - доказывать различные утверждения отталкиваясь от аксиом) можно построить непротиворечивую (внутренне) геометрию. Стоит заметить, что геометрия Евклида (как и геометрия Лобачевского) внутренне непротиворечива, т.е. не содержит противоречащих друг другу утверждений. В геометрии Лобачевского пятый постулат отличается от пятого в евклидовой тем, что прямую параллельную данной можно провести через данную точку не единственным образом (https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%9B%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%87%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%B3%D0%BE), т.е. две прямые могут быть параллельны данной, но пересекаться (что в евклидовой невозможно). Из различия в аксиомах следуют качественные различия. По последней ссылке можно прочитать про некоторые из них. Я же упомяну для примера такое различие: в геометрии Лобачевского нет подобных, но неравных треугольников - если углы одного треугольника оказываются равны углам другого треугольника, то эти треугольники равны. Также не выполняется постоянство суммы углов треугольника: могут быть треугольники со сколь угодно малой суммой углов. Интересные факты о генетике Телегония — это 100% бред?Правда ли, что хорошие и плохие качества по большей части передаются от родителей к ребенку генетически? Или это миф?Существует ли национальность с позиции генетики?Задайте вопрос и получите скидку до 70% на генетический тест!

Второй способ - геометрический. Евклидова геометрия естественным образом реализуется на плоскости. Если же в качестве поверхности взять не плоскость, а другую поверхность, то на ней мы получим неевклидову геометрию. К сожалению, в трёхмерном пространстве нельзя представить такую двумерную поверхность, которой бы соответствовала бы плоскость Лобачевского. Но есть поверхности, на которых реализуется геометрия Лобачевского. Такая поверхность должна иметь постоянную отрицательную кривизну. Простейший пример - псевдосфера. В качестве прямых на поверхности выступают геодезические линии. Углы между ними определяются как углы между соответствующими касательными проведёнными к соответствующим геодезическим, например. И т.д. Можно рассмотреть геометрию на сфере: сумма углов любого треугольника будет больше pi (в то время как сумма углов любого треугольника в плоскости лобачевского строго меньше pi). Геометрией на сфере пользуются авиакомпании для прокладывания кратчайших маршрутов, например=)

0
Прокомментировать
Ответить