Это очень интересный вопрос. Если вы имеете ввиду одиннадцать постулатов Аристотеля, то на эту тему велись серьёзные споры. Для начала надо сказать, что вплоть до середины XIX века логика считалась исключительно подразделом философии, пока Джордж Буль не привёл её в русло математики, создав то, что сейчас называется алгеброй логики и булевыми алгебрами. Стало понятно, что одиннадцать постулатов Аристотеля (плюс метод вывода modus ponens: если из A следует A=>B, то В) являются лишь системой аксиом, сходной с системой аксиом Эвклидовой геометрии. А поскольку к тому времени уже были разработаны неэвклидовы геометрии, такие как геометрия Лобачевского, то появилось понимание, что и постулаты логики можно попытаться ослабить.
Тем не менее, многие математики воспринимали систему постулатов Аристотеля как некое откровение, не подлежащее сомнению. Первую серьёзную попытку ослабить аксиоматику логики предпринял голландский учёный Лёйтцен Брауэр. Как и в случае с эвклидовой геометрией, критике подвергся последний, в данном случае одиннадцатый постулат, и неспроста. Брауэр был не логиком, а топологом, однако, помимо прочего, он доказал знаменитый результат о том, что любое непрерывное отображение n-мерного шара в себя имеет неподвижную точку. Доказательство было основано на одиннадцатом постулате: одно из двух всегда верно: либо А, либо не А, и заключалось в том, что если неподвижной точки нет, то отображение не является непрерывным. Однако выяснилось, что, хоть такая точка и есть, в общем случае не существует алгоритмического метода, позволяющего её обнаружить. Грубо говоря - ну есть точка, а толку то? И вот тогда Брауэр предложил считать хорошими лишь те математические доказательства, которые предъявляют в конечном итоге некий конкретный объект в качестве подтверждения или опровержения утверждения теоремы. А это значило отказ от 11 постулата. Эта система была названа интуиционистской логикой.
Когда, после жарких дебатов, интуиционизм занял наконец подобающее место в математике наряду с Аристотелевой логикой, люди стали пытаться экспериментировать с отказом от других аксиом, построению новых систем с новыми правилами вывода. В конечном итоге развилось направление формальной логики, ставшей подразделом так называемой метаматематики. В формальной логике можно выбирать любые аксиомы и правила вывода. Самым важным критерием становится непротиворечивость: можно ли, исходя из одной и той же посылки, доказать и истинность, и ложность какого-либо утверждения. Если да, то в этой системе можно доказать одновременно истинность и ложность любого утверждения, посему противоречивые системы неинтересны, и интересен может быть лишь вопрос их классификации, отделения от непротиворечивых. В непротиворечивых утверждения разделяются на выводимые и невыводимые, и встают вопросы о том, в каких системах аксиом в какой из этих двух классов попадают те или иные высказывания.
Если вы, наконец, хотите знать моё личное мнение, то я считаю систему Аристотелевой логики не более, чем удобной моделью: так же, как Эвклидова геометрия является удобной моделью на не слишком больших и не слишком малых расстояниях и малом влиянии гравитации. А дальше - всё относительно. Но это - лишь утверждение, и его можно логически оспаривать.
UPD. Мне пришлось подредактировать текст, поскольку там содержалась определённая неточность: всё-таки мы говорим о функциях в логике, которые могут принимать значения "истина" и "ложь" в зависимости от входных параметров, а вот сами функции могут быть выводимые или невыводимые. Истинность, ложность и недоказуемость - для этого мы должны работать в логике предикатов, то есть делать утверждения типа "для всех объектов" и "существуют объекты".
Вообще, раз вопрос вызвал такой интерес, следует, пожалуй, упомянуть и другие логические системы. Помимо двузначной, булевой логики, в которой входные данные бывают либо истинными, либо ложными, существуют ещё и так называемые многозначные. Наиболее известная из них, пожалуй, тернарная: к "истине" и "лжи" добавляется еще и значение "неопределённость". Функции логики, таким образом, тоже начинают принимать три значения. Так, если А="правда" и В="неизвестно", то (А или В) = "правда", (А и В)=(A и не В)=(не А или В)="неизвестно", (не А и Б) ="ложь"
В системе индийской философии середины первого тысячелетия до нашей эры существовало 4 варианта истинности: помимо "правды" и "лжи" присутствовали "и правда, и ложь" а также "не правда и не ложь". В буддизме к этим четырём понятиям добавляется ещё и пятое: "непостижимо". Нельзя сказать, чтобы восточная традиция математизировала эти понятия - как мы видим, и западная-то мысль сделала это довольно поздно, да и Буль с Брауэром, даже по меркам учёных-математиков, личностями были весьма неординарными. Но, тем не менее, путь это и несколько натянуто, логику в традиции Буддизма с современной точки зрения можно назвать пентарной - пятизначной. Подробнее об этом можно прочитать вот в этой статье:
И подумать не мог что на этот вопрос мне кто-то даст более менее точный ответ. Спасибо