Jone Done
февраль 2016.
4077

Для чего используются диофантовы уравнения и могут ли в них быть отрицательные корни?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
1
2 ответа
Поделиться

Прежде всего, диофантовы уравнения интересны сами по себе. Например, Великая теорема Ферма, одна из самых популярных теорем математики, представляет из себя диофантово уравнение. Обычно рассматриваются уравнения с положительными корнями, но и отрицательные корни также входят в область определения.

Вне чистой математики диофантовы уравнения возникают обычно тогда, когда исследуются сложные дискретные системы. Почти все эти примеры довольно сложны, поэтому я ограничусь кратким описанием - желающие же могут перейти по ссылках для углубленного изучения. 

Часто такое встречается в молекулярной физике и органической химии при поиске оптимальных структур. Даже подбор коэффициентов в химических уравнениях иногда превращается в решение систем диофантовых уравнений. 

Также такие уравнения используются в различных компьютерных алгоритмах. Например, при расшифровке алгоритма RSA, который используется во многих системах цифровой подписи и шифрования. Похожие случаи, связанные с решением диофантовых уравнений, возникают в алгоритмах обработки видео, проектирования осветительных систем (для расчета стробоскопических эффектов) и разработке систем управления сложными машинами (например, вертолетами).

Уравнения такого типа иногда встречаются в экономике и теории вероятностей. Чаще всего это линейные диофантовы уравнения. Их связь с реальной жизнью можно легко показать на пальцах: допустим, у кого-то есть 1000 рублей и он хочет купить карандашей по 40 рублей и ручек по 35 рублей. Сколькими способами можно это сделать? (подсказка: 3)

Стоит упомянуть одно интересное историческое приложение, использующее свойства диофантовых уравнений. Согласно некоторым источникам, китайские военачальники, чтобы узнать численность своей армии, давали несколько последовательных команд «В колонну по 7 становись!», «В колонну по 11 становись!», «В колонну по 13 становись!», «В колонну по 17 становись!» и в каждом случае выясняли, сколько солдат получилось в последнем ряду.  После этого (только по полученным остаткам!) вычислялось общее количество солдат.

5
0
Прокомментировать

Вообще вся современная криптография по сути построена на диофантовых уравнениях=) Взлом RSA -- это и есть решение диофантова уравнения. Вообще, взлом любого криптографического алгоритма открытого распределения ключа, цифровой подписи и т.п. сводится к решению какого-то диофантового уравнения. И вся современная криптография держится на том, что разработчики этих криптографических алгоритмов могут верно оценить сложность решения соответствующих (диофантовых в итоге) уравнений. Ведь эти уравнения решаются. Особенность в том, что изменяя определённые параметры алгоритма, можно сделать так, что решение соответствующего уравнения будет сколь угодно дорогим по сравнению со стоимостью использования алгоритма. Дорогим в прямом смысле слова - это совокупность затраченной машинной мощности - время и потребляемая энергия.

1
0

К какому уравнению диофантовому сводится RSA? Не могу допереть.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью