Почему некоторые люди произносят определенные слова с отчетливым добавлением/удалением мягкого звука? Например, [дьверь], [тьвердый], [закрылас] и т.п.

Это старомосковский говор. Люди так говорят не с каким-либо умыслом, а из-за выработавшейся привычки. Добавление мягкого звука слышала только в речи пожилых людей. Отсутствие смягченных гласных - исключительно в старых кинофильмах и мультфильмах.