Max Kravchenko
январь 2016.
24183

Для чего был изобретен интеграл и дифференциал, какое математическое действие лежит в их основе и их значение для естественных и технических наук?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
23
4 ответа
Поделиться

Давайте начнем с дифференциала, а точнее с производной, потому что о ней речь заходит у всех еще в школе. Из школьного определения мы знаем "Производная это отношение приращения функции к приращению аргумента". Проще говоря это отношение изменения функции к изменению аргумента, но эта фраза тоже может быть понятна не всем. Функция это некая величина, которая меняется в некоторой зависимости от другой величины - аргумента. Таким образом производная показывает нам во сколько раз функция изменяется быстрее (или медленнее), чем аргумент. Теперь уточним что такое "приращение". Вообще производная это отношение дифференциалов, а дифференциал некоторой величины это бесконечно малое ее изменение, то есть разница между некоторым начальным и конечным значением, только эти значения мы берем максимально близко друг к другу, как бы изучая изменение функции на каждом максимально маленьком ее участке. Самое очевидное приложение в естественно научной области это описание зависимости изменения расстояния, пройденного некоторым объектом от времени. Разделив бесконечно малое изменение расстояния на соответствующий ему бесконечно малый момент времени (dS/dt, где буква d обозначает что мы берем не абсолютные величины а дифференциалы) мы получим так называемую мгновенную скорость, то есть скорость, которую имел объект в конкретный момент времени. Естественно что эта скорость в другой момент времени может отличаться и тут уже находит свое приложение интеграл. Интегрируя какое то дифференциальное уравнение мы проводим суммирование по некоторой переменной. Обращаясь к нашему примеру со скоростью проинтегрировав по dt в определенных пределах (эти пределы это тоже значения времени но уже не бесконечно близко стоящие друг к другу а какие то реальные, пусть от 0 секунд до 60, например) мы получим среднюю скорость объекта, которую он имел на протяжении этой минуты. Приложение дифференциалов и интегралов в естественных науках невероятно велико и данный пример с скоростью движения просто простейшая иллюстрация, переоценить вклад этого математического аппарата в естественные науки невозможно.

Вообще дифференциально-интегральные исчисления это огромная часть математики именуемая математическим анализом, она несет в себе гораздо гораздо больше чем я написал, это целые курсы лекций как на естественно-научных специальностях, так и на непосредственно математических. Добавлю так же что описное мной выше станет гораздо понятнее если обратится к какому нибудь учебнику, наверное даже, по школьной физике или математике, в котором будут графики зависимости расстояния от времени и на них будут схематично изображены дифференциалы, там же должны быть приведены схожие с моими рассуждения.

50
-3

Только вот дифференциал функции это не ее "бесконечно малое изменение", а линейная по аргументам часть ее изменения. А то частные производные уже не получится построить.

+1
Ответить

Ну, просто я пытался объяснить максимально просто, а вдаваться в функции нескольких переменных - значительно усложнить материал.

+2
Ответить

Максим,  огромное спасибо за ответ. Я наконец поняла разницу и смысл. При том,  что мучаю учебник матанализа не первый месяц. Респектище. Вы суперпонятно умеете объяснять. Это дар.

0
Ответить

Максим,  а можете также понятие первообразной так же понятно разложить?

0
Ответить

аааааа не понимать лунный язык

+4
Ответить
Ещё 2 комментария

Выучи наш лунный язык,

Научись играть на трубе

И живи по полному каждый миг

Так бы я писал самому тебе

0
Ответить

Слава Богу, химик а не математик. Тогда понятно. Производная это предел отношения изменения функции к изменению аргумента, когда последний стремится к нулю. И все преподаватели обращали внимание на то, чтобы мы не делали ошибки и не упускали из определения слово ПРЕДЕЛ.

0
Ответить
Прокомментировать

Добавлю к вышесказанному.

Давайте попробуем определить скорость объекта, который движется из пункта А в пункт Б, между которыми расстояние 100 метров.

Для примера возьмем, что объект прошел это расстояние за 10 сек. Следовательно, средняя скорость равно 100 / 10 = 10 м/с

Но ведь объект мог двигаться не с постоянной скорость, а следующим образом:

Первые 50 метров объект мог проехать за 8 сек, а следующие 50 метров за 2 сек.

Получается, что ср. скорость на первых 50 метрах была равна 6.25 м/с (50 / 8), а ср. скорость последующих 50 метров была равна 25 м/с (50 / 2).

Логично, что скорость объекта могла меняться и еще чаще. Возьмем вторую половину пути (50 метров пройдены за 2 сек.).

Теперь представим, что 25 м из этих 50 объект прошел за 1.5 сек, а вторые 25 метров за 0.5 сек.

Высчитываем среднюю скорость для первых 25 метров 25 / 1.5 = 16.7 м/с, а для последующих 25 метров скорость равна 25 / 0.5 = 50 м/с

У меня бы возник вопрос, а вот если взять и в какой - нибудь момент остановить время и объект замрет. Вот теперь у объекта есть некая скорость, с которой он тут же поедет, если снова разморозить время. Это и называется мгновенной скоростью.

Теперь представте, что вы замораживаете время в разные моменты пути и у объекта мгновенная скорость всегда будет различаться.

Вот производная и является этой мгновенной скоростью. То есть производная высчитывается для каждой точки (момента на пути) отдельно.

20
0
Прокомментировать

Производная показывает скорость изменения функции. Самый элементарный пример - это расстояние, скорость, ускорение. Если мы движемся с постоянной скоростью, 5 м/с, то в первую секунду мы будем находиться на расстоянии 5 м от начала, во вторую 10 м от начала и т.д., а производная от нашего места положения - это и есть скорость 5 м/с. Если же у нас неравномерное (равнопеременное) движение, например - свободное падения в гравитационном поле Земли, то в первую секунду наша скорость будет 9,81 м/с, во вторую 9,81*2 и т.д. В данном случае скорость - производная от места положения (не является прямой, и наклонной), а производная от неё - ускорение (в данном случае ускорение свободного падения), показывает, как быстро изменяется скорость за единицу времени.

Интеграл - это обратное действие производной, как деление - это обратное действие умножения. Проинтегрировав функцию скорости и зная место положения в начальный момент времени, мы получим функцию координат, проитегрировав ускорение - скорость и т.д.

Употребляется везде в более сложных вычислениях, будь то строительство, проектирование, моделирование, электроника и т.д. Например, незаурядный ландшафт, и задание - построить дорогу наименьшего расстояния от точки А до точки Б, но так, чтобы она не проходила по впадинам; производная из функции мощности источника тока покажет наиболее эффективное значение тока; расчет формы провисания моста, формы опор, утолщение (утончение) опорных столбов и т.д. в целях 100% надежности и наименьшей затратности. И т.д. и т.п.

10
0
Прокомментировать

Этот ответ написан и доступен на

Этот ответ написан и доступен на Яндекс Кью

В отличие от других ответчиков я начну с интеграла, а не с производной. Интеграл в жизни имеет конкретный физический смысл. Это площадь фигуры ограниченной осью абцисс Х и графиком функции. Далеко от жизни? Сейчас приблизим. Представим себе машину, которая едет. Отложим по оси Х время в пути, а по Y - скорость в каждый, конкретный момент времени, и начертим график скорости от времени. Если скорость постоянная - это будет горизонтальная прямая. Фигура ограниченная этой прямой и осью Х - будет прямоугольником. Ширина прямоугольника - время в пути, а высота - скорость машины. Ширина*высота=площадь. Но при этом время*скорость=расстояние. Т.е. расстояние равно площади! И пройденное расстояние - это интеграл скорости.

А теперь начинается магия математики. Как посчитать путь, который пройдет машина, если у неё непрерывно меняется скорость, и её график извилистая кривая? А очень просто. Ведь ничего не изменилось - надо только найти площадь фигуры на графике! Как мы будем искать эту площадь - не важно. Можно просто посчитать клеточки на бумаге (это будет численным интегрированием, которое всегда приблизительное). А если скорость описана функцией от времени - можно найти её интеграл и сразу получить точный ответ.

А диференцирование - это это действие обратное интегрированию. Если продиференцировать функцию расстояния от времени, которую получили интегрированием скорости - мы обратно получим скорость. Ту самую скорость, с которой меняется пройденный путь машины. Сейчас скорость большая, километровые столбы мелькают, и пройденный путь быстро растет, а когда скорость падает и пройденные километры набираются медленно. На графике пути от времени, скорость это наклон самого графика. Грфик идет вверх - скорость положительная, мы едем вперед и расстояние растет. График пошел вниз - скорость отрицательная, мы едем обратно, а расстояние до точки старта уменьшается. График горизонтальная линия (наклона нет) -скорость равна нулю, мы стоим и расстояние неизменно.

Немного решил дописать.

Вообще интеграл в изменяющихся физических процессах очень востребован. А любой процесс описывает какую-то жизненную ситуацию.

Это сколько воды натекло через трубу в пресловутый бассейн при переменном напоре. Сколько киловатт накрутил электросчетчик при переменной нагрузке на сеть. До какой температуры нагрелась вода в кастрюле, если в процессе нагрева мы регулировали мощность плиты.

Любой процесс изменяемый во времени можно интегрировать и получить полезный результат. То же касается и дифенциала, который показывает скорость изменения общего результата.

1
0
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью