Никто Никтович
7 апреля 10:02.
31814

Имеет ли смысл онтологический аргумент Гёделя?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
21
3 ответа
Поделиться

Похоже, что да – вопреки распространенным подозрениями, он все-таки имеет смысл. Но сам этот смысл пока является для нас совершенно неопределенным.

Для начала напомним суть этого аргумента (GOA – Godel’s Ontological Argument). За основу возьмем оригинальную формулировку самого Гёделя (приводится по: Манин Ю.И. Математика как метафора. М.: МЦНМО, 2008, с. 88; формальную запись можно посмотреть там же).

Определения:

D1. быть Богом (богоподобным существом) значит обладать в качестве существенных свойств всеми позитивными свойствами

D2. для свойства F быть существенным по отношению к предмету х означает, что любое другое свойство, присущее данному предмету, с необходимостью влечет свойство F; другими словами, если у предмета вообще есть хоть какие-нибудь свойства, то есть и свойство F.

D3. Существование присуще предмету х, когда все существенные свойства х влекут, что необходимо найдется предмет, обладающий этими свойствами

Аксиомы:

А1. конъюнкция позитивных свойств является позитивным свойством

А2. свойство не является позитивным, если и только если позитивно его отрицание

А3. позитивное свойство позитивно с необходимостью (а не позитивное – с необходимостью не позитивно)

А4. существование является позитивным свойством

А5. все, что с необходимостью следует из позитивного свойства, является позитивным свойством

Теорема: Бог необходимо существует

(Подробный разбор как самого аргумента, так и его связи с другими версиями онтологического доказательства, можно найти в статье Грэма Оппи «Онтологические аргументы» для Стэнфордской Энциклопедии Философии: stanford.edu )

Итак, имеет ли вышеприведенный набор предложений какой-либо смысл? Что вообще значит для формального рассуждения наподобие GOA «иметь смысл»? Надо понимать, что мы имеем дело с довольно изощренным аргументом, сформулированным в языке гораздо более богатом, чем язык первопорядковой логики. Здесь использованы и кванторы по предикатам, и модальные операторы. Такие рассуждения нельзя однозначно поделить на правильные и неправильные: довольно часто вопрос об их правильности зависит от целого ряда метатеоретических допущений. Да и само понятие «правильности» тут не очень подходит – лучше говорить о «рациональной приемлемости», которая распадается на несколько независимых критериев: простота, экономичность, непротиворечивость, нетривиальность и т.д. и.

С этим у рассматриваемого аргумента дела обстоят довольно неплохо: его можно подвергать синтаксическому и семантическому анализу, проверять непротиворечивость аксиом и определений, строить модели и вообще применять различные методы работы с доказательствами (в том числе компьютерные). Так, в 2014 г. немецкие исследователи Палео и Бенцмюллер опубликовали результаты основательной проверки GOA средствами «вычислительной теоретической философии» (в том числе нескольких программ автоматического доказательства теорем высшего порядка). Результаты оказались весьма обнадеживающими: заявленное утверждение, содержательно интерпретируемое как «Бог необходимо существует», действительно следует из принятых аксиом и определений.

1. Эти аксиомы и определения не содержат внутренних противоречий, в чем их многие подозревали.

2. Кроме того, они оказались довольно экономными (для обоснования модальной части доказательства достаточно средств системы KB, а не более сильной S5, как утверждали некоторые).

3. Авторы подтвердили опубликованный ранее результат Собела о «модальном коллапсе»: аксиомы Гёделя настолько сильны, что понятия «необходимой истины» и «истины», по сути, склеиваются (вот это, прямо скажем, большой минус!)

4. Хорошие новости для сторонников монотеизма: оказывается, из данных аксиом можно дедуцировать не только существование, но и единственность Бога.

Можно ли утверждать, что гёделевская версия онтологического аргумента чем-то существенно лучше по сравнению с предшествующими? На мой взгляд, да. Она построена на основании гораздо более изощренных и продуманных логических средств, чем те, что имелись в распоряжении великих предшественников Гёделя – от Ансельма до Гегеля. Даже по сравнению с версиями Хартсхорна, Малкольма и Плантинги (которые тоже использовали концептуальный аппарат современной модальной логики), она выглядит гораздо более строгой, общей и развернутой. Уровень детализации и формализации беспрецедентный.

Так имеет ли онтологический аргумент Геделя смысл? Определенно, да. Какой именно смысл? Этот вопрос остается открытым. Как видите, ключевое понятие «позитивного свойства» не сопровождается никаким содержательным определением. Оно определяется лишь неявным образом – через аксиомы. Сам Гёдель предостерегал от чересчур прямолинейной трактовки этого понятия, подчеркивая, что «позитивный означает позитивный в морально-эстетическом смысле (независимо от акцидентальной структуры мира)».

Является ли позитивным, например, свойство «быть красным»? Вряд ли. Ведь из этого свойства вытекает негативное свойство «не быть зеленым». Нельзя же быть красным и зеленым одновременно – по крайней мере, в нашем мире.

А является ли позитивным свойство «быть живым», например? Ну, вроде как если человек добрый – то он живой, и если злой – все равно живой, а если мертвый – то он уже никакой. Но и здесь все не так просто: мы можем представить себе мир с таким устройством, что в нем свойство «быть мертвым» оказалось онтологически более фундаментальным: из него следовали бы все другие значимые для того мира свойства, а «никакими» оказались бы как раз живые существа.

А вот «равняться себе самому» (х=х), по Гёделю, это позитивное свойство. Ведь из него не следует никаких негативных свойств, а само оно следует из любого свойства (в том числе из всех позитивных свойств). Интересно, что бы Гёдель сказал по поводу бозонов - субатомарных частиц, которые не обладают этим свойством (thequestion.ru)? Похоже, что «позитивность» даже для свойства «равняться себе самому несколько сомнительна.

Таким образом, аргумент Гёделя может оказаться вполне рационально приемлемым. Из него действительно может следовать, что «Бог необходимо существует». И этот «Бог» должен представляет собой совокупность всех позитивных свойств. Только ни одного из предполагаемых свойств такого «Бога» мы не способны назвать уверенно. Увы, у нас нет даже ни малейшего представления о том, в чем такие свойства в принципе могли бы состоять.

49

«позитивный означает позитивный в морально-эстетическом смысле (независимо от акцидентальной структуры мира)». По всей видимости подобная точка зрения отсылает к традиции морального абсолютизма или естественно-правовой доктрине. Насколько я знаю, часто моральные абсолюты или законы разума обосновываются как раз за счет сущестования бога. Хотя существуют секуляризированные концепции - логическое обоснование как у Фуллера и социальное обоснование как у Макинтайра, но сами эти концепции настолько не простые, что их не назовешь самоочивидными истинами разума, доступными для всех

+6
Ответить
Комментарий удален модератором
Прокомментировать

Имеет ли смысл онтологический аргумент Гёделя? Этот вопрос содержит в себе три подвопроса: 1) является ли доказательство Гёделя корректным в логическом плане? 2) является ли это доказательство онтологическим? 3) является ли оно доказательством бытия Бога (т.е. именно Gottesbeweise, как называется на родном языке самого Гёделя)?

1). Итак, имеет ли доказательство Гёделя чисто логический смысл? Как известно, логическая формула не имеет смысла, если не является правильно построенной формулой. Но это тривиальный случай, где наличие или отсутствие смысла констатируется путём простого сравнения с синтаксисом. С логическим смыслом доказательства несколько сложнее, хотя главный принцип тот же: оно должно быть правильно построено, т.е. логически корректным. Доказательство теоремы имеет логический смысл, если представляет собой непустую конечную последовательность формул, где каждая есть либо аксиома, либо теорема используемой логической системы, либо формула, полученная из предыдущих формул последовательности по какому-либо из правил вывода, а последняя формула совпадает с доказываемой теоремой. Соответственно если кроме аксиом используются допущения, то указанная последовательность формул является выводом, но в любом случае множество аксиом, допущений и правил вывода не должно вести к противоречиям (в том плане, как противоречивость определена в данной логической системе). У самого Гёделя в его набросках были обозначены лишь ключевые пункты доказательства. Но это вполне позволяет представить его и в вышеуказанной "канонической" форме: как, например, в реконструкции В.В. Горбатова (см. https://pp.vk.me/c633927/v633927371/16aad/dOKIzdjY0TU.jpg). Немаловажное значение имеет выполненное в 2013-2014 годах исследование Кристофа Бенцмюллера из Свободного университета Берлина и Бруно Палео из Венского технологического университета, с использованием теоретических разработок Полсона из Кембриджского университета (http://ebooks.iospress.nl/publication/36922). И как подчеркнул Кристоф Бенцмюллер в одном из интервью, "теперь мы можем утверждать с большой уверенностью: логичная цепь аргументации в этом доказательстве Бога доказуема корректно" (http://www.heise.de/tp/artikel/39/39766/1.html). Ныне уже практически нет сомнений, что в этом отношении доказательство Гёделя имеет смысл.

2). Имеет ли доказательство Гёделя смысл как доказательство онтологическое? Сейчас также не остаётся сомнений, что Гёдель, как минимум, ставил перед собой задачу построения доказательства именно такого типа: по свидетельству Оскара Моргенштерна, ссылающегося на слова самого Гёделя, он прежде всего "стремился показать, что такое доказательство с классическими утверждениями (полноты и т.д.) правильным образом аксиоматизированное, является возможным" (см. Sobel J.H. Logic and Theism. Arguments For and Against Beliefs in God. NY. Cambridge University Press. 2004. p. 115-116). В самом общем виде суть онтологического доказательства состоит в дедуцировании существования объекта из понятия этого объекта. Поэтому речь ещё и о том, какое существование имеется в виду. Самый простой пример онтологических доказательств - дедуцирование существования математических объектов из их определений. Хотя и здесь возможны разные критерии существования, а соответственно и различное понимание онтологического статуса: от номинализма до реализма платоновского типа (достаточно вспомнить формализм, интуиционизм, логицизм и т.п.). Однако в любом случае дело касается идеального существования в рамках той или иной математической теории, и при этом сам по себе вопрос о реальности таковых идеальных объектов не входит в предмет математики. Онтологические доказательства метафизического характера, наоборот, имеют в виду именно реальное существование (как бы оно ни понималось), где логическая истинность ("тавтологичность") доказываемой экзистенциальной формулы совпадала бы с её фактической истинностью. Элементы подобного рода доказательств встречаются в современной физике, вынужденной оперировать в том числе и принципиально ненаблюдаемыми объектами (вроде виртуальных частиц, существование которых доказывается чисто теоретически, а эмпирическая верификация возможно только по косвенным признакам). В данном случае гёделевское доказательство выступает своеобразной экспликацией онтологического аргумента Лейбница. Если Декарт исходил из того, что Совершеннейшее Существо мыслимо, и при этом отрицание существование было бы противоречием в самом понятии (т.е. рассуждал всецело в рамках классической логики), то Лейбниц подметил: мыслимость означает возможность, которая сама должна быть доказана путём установления непротиворечивости сочетания всех совершенств. А из такой доказанной возможности непосредственно следует необходимость существования, ибо если необходимость возможна, то она необходима (ныне это теорема модальной системы S5, следующая из аксиомы "всё возможное с необходимостью возможно"). Своё доказательство Лейбниц основывал на постулате, что совершенство есть "простое качество, которое является положительным и абсолютным, т.е. без каких-либо ограничений выражает то, что оно выражает" - поэтому каждое совершенство не содержат в себе того, что могло бы противоречить другим, из чего следует непротиворечивость совокупности всех совершенств. Однако главным контраргументом этому варианту стало возражение, что существование подобных "простых положительных качеств" отнюдь не самоочевидно и само должно быть доказано. Гёдель устраняет эту трудность тем, что термин "позитивное свойство" становится имплицитным самой логической системе, получая своё определение через неё (в частности, посредством одного из главных положений, что необходимые логические следствия позитивных свойств всегда позитивны). Другим серьёзным возражением против онтологических доказательств выступал кантовский тезис о том, что существование не есть реальный ("вещный") предикат - тезис, основывающийся на тождестве содержания понятия того или иного объекта независимо от онтологического статуса этого объекта. В доказательстве Гёделя (как, заметим, и в системах свободных логик) это возражение снимается тем, что здесь существование - второпорядковый предикат. Словом, в целом правомерно заключить, что Гёделю, действительно, удалось продемонстрировать логическую возможность построения онтологических доказательств метафизического типа. Так что и в этом отношении его "онтологический аргумент" также имеет смысл. Небезынтересно отметить, кстати, что с повестки дня не снимается и вопрос о возможности построения онтологических доказательств без привлечения аппарата модальной логики. Так, выдающимся российским логиком В.А. Бочаровым была предпринята попытка продемонстрировать таковую возможность средствами первопорядковой логики предикатов с равенством в системе натурального вывода (см. Бочаров В.А., Юраскина Т.И. Божественные атрибуты. М.: Изд-во МГУ, 2003, с. 111-147). И хотя конкретной цели (доказательства избранного тезиса) достичь ему не удалось, сама попытка заслуживает особого внимания.

3) Имеет ли смысл доказательство Гёделя как доказательство бытия именно Бога? Это, конечно, самый спорный момент. Но в основном по причинам внелогического свойства. Однако, оставив в стороне разного рода мировоззренческие аспекты, можно сказать, что даже основные "недостатки" гёделевского онтологического аргумента подталкивают к положительному ответу на поставленный вопрос. Во-первых, само доказательство основывается на такой модельной структуре <G, K, R>, где отношение R обеспечивает достижимость всех возможных миров K относительно выделенного (действительного) мира G. Это необходимое условие, если речь именно о бытии Бога, а не просто какой-то метафизической сущности с относительной необходимостью существования. Но это же, как считалось до недавнего времени, предполагает обязательное использование модальной системы S5, отношение к которой среди логиков неоднозначно. Теперь, после исследования Бенцмюллера и Палео, критика гёделевского доказательства с этой стороны теряет свою актуальность. Во-вторых, одним из существенных выводов данного исследования является указание на "монотеистичность" гёделевского онтологического аргумента. Тем самым снимается критика насчёт возможной "множественности" (высказываемая, например, http://plato.stanford.edu/entries/ontological-arguments/#GodOntArg). Однако, в-третьих, было подтверждено, что своеобразной ценой является "модальный коллапс" (в форме "всё действительное необходимо"). Вот это очень серьёзный контраргумент. Но в том и дело, что таковое обстоятельство для гёделевского доказательства отнюдь не является фатальным, скорее наоборот. Ибо, как отмечает Роберт Кунс (Robert C. Koons), есть "способ избежать модального коллапса. Ключевой вопрос касается области свойств, по которым должны пробегать кванторы второго порядка", при этом областью значений переменных могли бы служить только "внутренние свойства" (http://goo.gl/ZIiZPe). И более того, как раз опасность "модального коллапса" требует соответствующего уточнения. По всей видимости, его как раз подразумевал Гёдель, когда содержательно характеризовал "положительность в моральном эстетическом смысле (независимо от случайной структуры мира). Только тогда аксиомы являются истинными" (https://pp.vk.me/c633927/v633927371/16ab6/N0jMnN32pjM.jpg). И такие положительные свойства существуют: например, "благое" или "прекрасное" - именно применительно к ним действительное наличие влечёт необходимость наличия без возникновения "модального коллапса" (если нечто благое или прекрасное, то оно необходимо благое или прекрасное, по определению самих этих понятий). Подобный подход требует обобщения понятия эмпирического опыта, распространяясь не только на опыт сенсуальный, но и на религиозный, моральный, эстетический с соответствующими логическими экспликациями. Не случайно те же Бенцмюллера и Палео квалифицировали своё исследование по "автоматизации" онтологического доказательства Гёделя как "проблеск того, что может быть достигнуто путём объединения информатики, философии и теологии".

3

Последнее положение, определяющее несостоятельность "полноты" аксиоматики при отсутствии эмпирического обоснования, кстати, делает несостоятельным и определение "положительности", которое авторы пытаются использовать в тексте - ибо, ориентированное на саму несостоятельную систему аргументов, оно очевидно становится бессодержательным

0
Ответить
Прокомментировать

Если некто (не важно кто) обозначает нечто (например, свойство богоподобности) "положительным", то это не значит, что оно является положительным на самом деле. Более того, не значит, что свойство богоподобности вообще соотносится с реальностью в виду предельной сомнительности бытия бога, как исходного объекта уподобления. Кроме того, не наличествует исчерпывающего определения понятия "положительности" ввиду предельной многозначности данного термина (пример - положительные и отрицательные электрические заряды). Эти факторы обращают указанный текст в пустую болтологию.

Напомню также, что если "аксиоматика" некой болтологии содержит не подтверждаемые эмпирикой элементы, то это и превращает ее в болтологию ввиду оторванности от реальности (именно по причине наличия не подтвержденных эмпирикой элементов). И то, насколько удачно элементы болтологии стыкуются друг с другом, ничуть не исправляет суть ситуации. В крайнем случае, ее можно держать в запасе, как один из множеств подобных инструментов на случай появления эмпирических обоснований одному из них. И до появления таковых доверия каждому из них, как "единственно верному", разумеется, нет

0

Последнее положение, определяющее несостоятельность "полноты" аксиоматики при отсутствии эмпирического обоснования, кстати, делает несостоятельным и определение "положительности", которое авторы пытаются использовать в тексте - ибо, ориентированное на саму несостоятельную систему аргументов, оно очевидно становится бессодержательным

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить