Правда, что с помощью математики можно доказать и объяснить ВООБЩЕ ВСЁ?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
20
6 ответов
Поделиться

Господин Александр Фомин допустил несколько УЖАСНЫХ ошибок! Ему должно быть стыдно, надеюсь он удалит свой ответ

Ошибки в рассуждениях о геометрии:

1) Параллельные прямые НИКОГДА не пересекаются, по своему определению (параллельные - не имеющие общих точек и находящиеся в одной плоскости). Известны варианты геометрий, где параллельных прямых не существует (проективная, сферическая геометрия)

2) Пятый постулат Эвклида заключается в том, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести ТОЛЬКО ОДНУ прямую, параллельную первой

3) В геометрии Лобачевского постулат о параллельных означает, что существуют прямая и такая точка, что через неё проведено ДВЕ прямые, которые в одной плоскости, отличаются друг от друга и НЕ ПЕРЕСЕКАЮТСЯ с первой

Ошибки в рассуждениях о теореме Гёделя:

4) Студент как раз сказал совершенно верную вещь - в рамках арифметики (геометрии) невозможно вывести формулу, утверждающую непротиворечивость самой аксиоматической системы. Можно вывести, что если арифметика непротиворечива - то непротиворечива геометрия Евклида. Что если непротиворечива геометрия Евклида - непротиворечива геометрия Лобачевского. Таким образом вопрос о непротиворечивости сводится к одной, самой простой аксиоматической системе. В данный момент - это набор аксиом теории множеств ZFC (или другой вариант), вопрос о непротиворечивости которого скорее философский, чем математический. Например, часть математиков считает, что аксиома выбора - вероятно приводит к парадоксам и должна быть исключена

5) Пятый постулат Евклида иллюстрирует совершенно другую вещь - он позволяет отличить полную систему аксиом (все модели которой изоморфны и не имеют существенных отличий) от неполной: если исключить аксиому о параллельных Евклида, то возможные модели этого урезанного набора аксиом начнут существенно отличаться друг от друга. Например, в геометрии Лобачевского невозможно построить прямоугольник, площадь треугольника (и вообще - n-угольника) ограничена сверху, плоскость можно замостить любыми правильными n-угольниками (подобрав их размер), не существует подобных (отличающихся по размеру) фигур и т.п.

По теме вопроса, можно ещё добавить что иная теорема Гёделя о неполноте, утверждает, что в аксиоматической системе ПЕРВОГО ПОРЯДКА (такой как арифметика) - можно построить формулу, которую нельзя опровергнуть или доказать. И добавление отрицания этой формулы или самой формулы не уберёт неполноту.

Геометрия Евклида (Лобачевского) - не является рекурсивно-перечислимой аксиоматической системой, и поэтому теорема Гёделя к ней НЕ ПРИМЕНИМА, а сама геометрия Евклида (Лобачевского) - полна

Владимир Шоминотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
32
Прокомментировать

Скорее всего, нет. Есть теоремы Гёделя о неполноте, доказанные им же, последняя из которых:

"Если формальная арифметика непротиворечива, то в ней невыводима некоторая формула, содержательно утверждающая непротиворечивость этой арифметики."

Грубо говоря, ни одна математическая система не в состоянии доказать, что она все доказала)). (Правильное объяснение ниже(уже сверху))

В конце концов что-то нам приходиться принимать на веру, будь то аксиомы, или независимость окружающего мира от нашего существования.

Сергей Калуцкийотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
12

Это похоже на какую-то рекурсию. Арифметика же служит инструментом для других дисциплин: Физики, Информатики, Химии и проч.

А вы говорите о том, чтобы применить этот инструмент сам на себя.

-1
Ответить

К арифметике в данном случае применяется формальная логика.

0
Ответить
Прокомментировать

Я коротко: континуум гипотеза. wikipedia.org

4

Спасибо вам за ссылку на такую интересную статью в википедии. Первая проблема Гилберта, это конечно очень интересно, но я думаю для подавляющего большинства людей слова в этой статье википедии совершенно не имеют какого либо смысла. Вы бы не могли пояснить на пальцах или просто упрошенных примерах, смысл этой гипотезы и статьи в целом.

Дайте людям повод полюбить математику, а не отторгать ее за совершенную непонятность)

+1
Ответить

Тут всё довольно просто. Есть множества конечные, а есть бесконечные. Конечные множества сравнивать довольно легко, т.е. мы легко можем сказать, в каком из них элементов больше, достаточно просто их пересчитать.

С бесконечными дело обстоит сложнее. Но нам на помощь приходят взаимно однозначные соответствия. Например, мы каждому натуральному числу, можем единственным образом сопоставить чётное число, умножив исходное число на два. Получаем набор пар:

1 -- 2

2 -- 4

3 -- 6

и так далее. В левом столбце встретятся все натуральные числа ровно по одному разу, а в правой --- чётные натуральные. Т.е. оказывается, что натуральных чисел столько же, сколько и натуральных чётных. Когда между двумя множествами есть взаимно однозначное соответствие, говорят, что они равномощны. Если же одно множество равномощно подмножеству другого, но при этом не равномощно самому этому другому множеству, то говорят, что оно меньшей мощности. Ясно, что понятие мощности это обобщение понятия количества элементов на случай бесконечного множества.

Интуитивно понятно(простое упражнение для первокурсников математических факультетов), что самое "маленькое" бесконечное множество это множество натуральных чисел. Остальные бесконечные множества либо равномощны ему, либо имеют мощность больше. Так вот множество, равномощное множеству натуральных чисел, называют счётным.

Есть ещё одно привычное для всех множество -- множество всех действительных чисел. Хорошо известно, что оно не счётно, т.е. имеет большую мощность, чем множество натуральных чисел(Существует довольно красивое доказательство, обычно оно называется диагональным методом Кантора). Так вот, множество, равномощное множеству действительных чисел, называют континуальным.

А теперь главный вопрос: существует ли множество, мощности больше, чем мощность множества натуральных чисел, но меньше, чем мощность множества действительных?

Георг Кантор в 1877 году предположил, что нет, однако доказать это ему не удалось.

И тут небольшое лирическое отступление. Теория множеств --- основополагающий раздел математики, на нём стоит практически вся остальная математика. Однако, именно с самыми интуитивно понятными вещами иногда и возникают самые сложные для понимания проблемы. Теория Множеств, как и любая другая математическая теория, должна строиться на основе некоторой системы аксиом, которая, в нашем случае, появилась далеко не сразу и вызывала много вопросов(ознакомиться с историей можно тут wikipedia.org).

Тем не менее, сейчас мы имеем системы аксиом для теории множеств. Система аксиом Цермело—Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Названа в честь Эрнста Цермело и Адольфа (Авраама) Френкеля.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора(про которую нужно говорить отдельно), и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Теперь вернёмся к проблеме Кантора. Дело в том, что к настоящему моменту Гёделем и Коэном доказано, что континуум-гипотезу нельзя ни опровергнуть, ни доказать соответственно, если мы живём в мире ZFC.

Таким образом, мы просто теоретически не в состоянии ответить на вопрос, содержание которого может понять школьник старших классов.

+3
Ответить
Прокомментировать
Читать ещё 3 ответа
Ответить