Николай Ермаков
январь 2016.
2981

Что такое предел? Что такое |Xn-A|<ę(эпсилон) Что такое A? И почему Xn рассматривается как число, когда это последовательность? НИЧЕГО НЕ ПОНИМААЮ! :(

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
5
2 ответа
Поделиться

Для начала успокойтесь, я понимаю на носу экзамен, но для математики нужна "холодная голова". Сейчас мы во всем разберемся, все очень просто на самом деле :)

Начнем с того, что вы немного запутались в обозначениях. Последовательность принято записывать в фигурных скобках: {Xn}, в то время, как ее элемент — без скобок: Xn. В первом случае n — это абстрактный номер, а во втором — это уже какой-то конкретный номер. Я могу сказать, возьмем пятый элемент последовательности {Xn}, тогда n=5, то есть элемент Xn=X5, но при этом последовательность по-прежнему будет обозначаться {Xn}, а не в коем случае не {X5}.

Иными словами: последовательность {Xn} это набор элементов X1, X2, X3, ... X(n-1), Xn, X(n+1) ... , в котором есть элемент Xn. Обычно n — это любое натуральное число.

Я допускаю, что иногда лектор (учитель) опускает фигурные скобки и обзывает последовательность просто Xn, и тут уже надо понимать из контекста, где речь идет о целой последовательности, а где о ее конкретном элементе (это не сложно, как правило).

Теперь, собственно, предел. Говорим о числовых последовательностях (для нечисловых все тоже самое, только слова другие). Так как нельзя брать предел от числа — это бессмыслица, то нет нужды писать фигурные скобки в пределе : lim {Xn}, пишется просто lim Xn, и имеется в виду предел последовательности {Xn} (Здесь и далее, когда я пишу lim и говорю "предел последовательности", то всегда имею ввиду "при n стремящимся к бесконечности").

Запись, lim Xn = A, значит, что при стремлении n к бесконечности, то есть вы берете все больше и больше членов последовательности {Xn} и так доходите до бесконечного их числа, существует некое ЧИСЛО А, которое является пределом для этой числовой последовательности, причем А может, как являться членом {Xn}, так и не являться, это никак не регулируется определением.

Определение. Я рассчитываю, что оно есть у вас перед глазами и перейду сразу к объяснению. Буду обозначать эпсилон, как "е". е — какое-то число. Наше определение работает для ЛЮБОГО е > 0, и для маленьких значений и для больших. И вот для любого такого е существует КОНКРЕТНЫЙ номер N элемента последовательности {Xn}, который зависит от e, (поэтому пишут не N, N(e)), начиная с которого, расстояние от этого элемента до А ,будет меньше чем это самое е. Это значит, что расстояние от XN до А, X(N+1) до А, X(N+2) до А и ВСЕХ последующих элементов, меньше е. Расстояние от XN до А — это ничто иное как модуль |XN-A|, или что тоже самое |A-XN|.

Вот собственно и все! Теперь вы можете попробовать посмотреть, как работает это определение на простых последовательностях, например:

1){Xn} такая, что Xn=1/n, для всех n. То есть {Xn}=1/1, 1/2, 1/3 ... 1/n... , lim Xn = 0.

2){Xn} такая, что Xn=1, для любого n, lim Xn = 1.

Обратите внимание, в первом случае предел не принадлежит последовательности, а во втором — принадлежит.

Анна Синельниковаотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
24
0
Ответить

?!

0
Ответить

Что вы пытаетесь сказать?

+2
Ответить
Ещё 2 комментария

Да,ссылка не вставляет похоже

0
Ответить

И удалит не вожможно или как?

0
Ответить
Прокомментировать

Судя по всему, автора интересует математическое понятие предела. Сам по себе предел не существует: должен быть предел ЧЕГО-ТО. Для простоты ограничимся пределом числовой последовательности. Числовая последовательность - это множество чисел, которые идут в определённом порядке, т.е. их можно пронумеровать: х_1, х_2, х_3... Если числовая последовательность конечна, то её пределом будет последний элемент. Если последовательность бесконечно, то она может иметь предел. Число А называется пределом числовой последовательности, если для сколь угодно малого epsilon > 0 вне epsilon-окрестности числа A будет находиться конечное количество элементов данной последовательности. Epsilon-окрестность числа А есть множество всех чисел, чьё расстояние до А меньше epsilon - где под расстояниям подразумеваемся модуль разности двух чисел. Утверждение: числовая последовательность x_n (n=1,2,3...) имеет предел равный А тогда и только тогда (условие необходимое и достаточное одновременно), когда для произвольного epsilon > 0 существует такое натуральное N, что для любого натурального n > N верно неравенство |х_n - A| < epsilon.

3
Прокомментировать
Ответить