Давайте посмотрим на внутреннюю форму этих слов, то есть на объяснение их значений через производящее слово.
Оба восходят к церковнославянскому глаголу "предать" в простом физическом значении, соответствующем русскому "передать": кто-то делает для другого человека доступным предмет, который он ранее держал, более широко - владел или управлял (Петя передал мне книгу, которая лежала у него в сумке).
"Преданность" - существительное со значением свойства от отглагольного прилагательного/причастия "преданный", означающего, что кто-то предал/передал себя, свою судьбу другому человеку, поставил себя в зависимость от другого и сохраняет эту зависимость по своей воле (Петя всегда был мне преданным другом). Образная основа - "предать себя кому/чему значит вручить власть над собой, как предмет, которым раньше управлял сам".
"Предательство" - это действие, совершенное предателем, а предатель - это тот, кто предаёт уже в новом, производном значении: даёт третьим лицам (обычно враждебно настроенным) доступ к тому, что хранил или чем владел в интересах другого человека, доверявшего предателю (Петя предал меня, рассказав всё обо мне Васе). Образная основа: "предать кого-то (кому-то) значит дать кому-то власть/возможность действовать против того, кто доверял предавшему".
То есть общая идея одна: мы ПЕРЕДАём другим что-то, чем владеем сами или что нам доверили. Но идея эта получила развитие в разных направлениях.