Нельзя однозначно ответить на ваш вопрос. Вот для начала, каким вы представляете себе домашнее животное - это кот, гуляющий по всему району, собака, которую месяцами не спускают с привязи во дворе или дико породистое небесное создание, которое перемещается по вашей квартире в тапочках, а вы моете руки перед тем, как взять это чудо на руки? В соответствие с выбранным вами пунктом изменяется и набор возможных проблем. От последнего варианта вам скорее всего даже глисты не светят, а вот первый, если ему не делают прививок может и бешенство в дом принести.
Что касается аллергии, то согласно данным последних исследований именно тесный контакт с животными в детстве снижает вероятность развития аллергии в будущем.
Правильный уход за животным исключает почти любую вероятность чем-нибудь от него заразиться. Всё что требуется от хозяина - своевременно прививать и давать питомцу глистогонные препараты, не подпускать его к диким животным, следить, чтобы в доме не было крыс и мышей, обеспечивать питомца качественными продуктами и обращаться к ветеринару, если вам кажется, что животное заболело.