Основных этимологических версий две. Первая (грубо говоря) -- от "шкварки" (то есть "зажаренные фрагменты"), "шкворчать" (звукоподражание, имитирующее звуки при жарке). Ср. также "шквара" (металлический шлак, отходы при плавке, ковке), чеш. škvár (шлак, старье, барахло). То есть "зашквариться" -- это буквально "запачкаться", "загрязниться",
Вторая (которая мне больше нравится) -- от древнерусской основы "сквьр-" (ср. др.-русск. "сквьрна" -- «мерзость, нечисть»; восходит к греч. skor -- «грязь»). Тоже, выходит, сводится к "запачкиванию".
Изначально это пришло из тюремной среды. Зашквариться - войти в контакт с опущенным (петухом), его вещами или местом на нарах, другими словами - оскверниться. Зашквар - это позор/позорно.
Зашквариться-замараться, об петуха, т.е. опуститься. выпил из дырявой чашки- зашкварился, стал петухом. Вероятно, что шквар- это грязь, низшая масть, опущенный.