Вопрос старый, но я случайно наткнулся, все же отвечу.
Центр - Крепость Калемегдан с церковью Ружица, улица кнеза Михайла, пешеходная улица Скадарска, прогуляйтесь по району Дорчол, в центре множество красивых зданий вроде Парламента(Скупштина) или резиденции Президента. Храм святого Савы и храм святого Марка.
Земун - просто можете погулять по улицам в центре и дойти до башни Тысячелетия(башня Хуньяди), на нее можно забраться и насладиться видом на Дунай. Погуляйте по набережной Дуная(Дунавски кей)
Остальные места - поместье князя Милоша Обреновича в парке Топчидер, парк Кошутняк, по набережным есть плавающие клубы и рестораны(их называют сплавами), рекомендую посетить гору Авала с телебашней и красивейшим парком, там есть потрясающий мемориал неизвестному солдату(в память о войнах 1912-1918). На телебашню можно подняться на лифте, в стоимость билета входит порция кофе.
А еще просто ходите по городу, гуляйте куда ноги приведут, очень много можно для себя интересного открыть