Почему в России "ИГИЛ", (т.е. Исламское государство Ирака и Леванта), а на Западе ISIS (т.е. Исламское государство Ирака и Сирии)?

Левантом называют земли, исторически сформировашиеся на территории нескольких государств - Сирии, Палестины, Ливана, Иордании и других, это не государство (подобно термину "магриб").

Это можно за 7 секунд обнаружить в Википедии.

Общепринятые термины и формулировки в СМИ закрепляются не случайно, но по принципу благозвучия. ISIL или ИГИС не звучит, потому широко не используется.