Ответ на этот вопрос не очень сложен.
Христианство "начало вытеснять другие религии" ровно в тот момент, когда император Константин I Великий (годы правления 306-337) признал его равноправным традиционной религии (Миланский эдикт), а до этого момента было не очень многочисленным и не самым популярным вероучением. Преемники Константина утвердили христианство в качестве основной религии империи, (насильно) крестили массу язычников и действовали весьма решительно. Например, Феодосий I Великий (годы правления 379-395) издал ряд указов, в которых постановлял разрушать античные храмы. А в 391 году специальным эдиктом запретил все языческие культы и поклонение старым богам не только публично, но и в собственных домах.
При мощной государственной поддержке христианство было обречено стать главной религией Римской империи, а со временем - через крещение варваров - и всей Европы.
Так что вопрос следует задать несколько иначе: почему из всех возможных альтернатив старой римской религии Константин выбрал именно христианство?
Да потому что были многочисленные чудеса творимые обычными людьми, поэтому люди не боялись даже смерти за свои убеждения. Распинали же, сжигали, бросали диким зверям христиан на протяжении почти 300 лет, это 10-15 поколений! Как после 300 лет гонений может что-то остаться от каких бы то ни было убеждений основанных не на том, что действительно приходил Бог и всё это правда!
Забывают обстановку позднего Рима - деградация, распущенность ... Христиане на этом фоне - здоровое общество, многодетные, дружные семьи (есть письма на папирусах). Строгая нравственность. За годы гонений - храбрость, верность друзьям, единоверцам... И Вера, без этого не объяснить готовность к мукам. И да, широкая "пропоганда" (в отличае от иудаизма, тоже мировой религии).