Артур Семушев
ноябрь 2015.
58267

Почему минус на минус дает плюс?

Ответить
Ответить
Комментировать
2
Подписаться
15
13 ответов
Поделиться

Требуется доказать, что (-a)(-b)=ab.

Будем действовать в рамках аксиоматики действительных чисел (wikia.com).

Для начала докажем, что -a = (-1)a. Итак, a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 + (-1))a по аксиомам о существовании нейтрального элемента и о дистрибутивности умножения. Далее (1 + (-1))a = 0a по аксиоме о противоположном элементе. Покажем, что 0a = 0.

0a + a = 0a + 1a = (0+1)a = 1a = a. По аксиоме о существовании нейтрального элемента по сложению, получаем 0a + a = a = 0 + a, откуда 0a = 0. Возвращаясь назад, мы получили, что a + (-a) = 0 = 0a = a + (-1)a. То есть, действительно, -a = (-1)a.

Далее в рамках аксиоматики делаем следующие преобразования: (-a)(-b) = (-1)a(-1)b = (-1)(-1)ab= -(-1)ab (в последнем равенстве мы заменили (-1)(-1) на -(-1), т.к. ранее мы доказали, что -a = (-1)a).

Покажем, что -(-a) = a. Из аксиомы о противоположном элементе -(-a) - это такой элемент x, что (-a) + x = 0. Из той же аксиомы получаем, что a + (-a) = (-a) + a = 0, значит, этот элемент равен a. Отсюда -(-1) = 1. Значит, -(-1)ab = 1ab = ab по аксиоме о существовании нейтрального элемента по умножению. Окончательно, (-a)(-b) = ab. Что и требовалось доказать.

Конечно, это доказательство упрощено и не содержит таких важных вещей, как, например, доказательство единственности противоположного элемента и единственности нуля, как решения уравнения x + a = a. Эти тривиальные задачи оставлены читателю в качестве упражнения.

Александр Кульковотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
124
-5

Очень поучительно, спасибо, Александр!

+5
Ответить

Замечательно! Даже лектор нам такого не рассказывал

+6
Ответить

Все стало кристально ясно, большое спасибо за ответ!

+9
Ответить
Ещё 9 комментариев

Докажем единственность нуля:

пусть их хотя бы два: n1 и n2. Тогда n1 = n1 + n2 (так как n2 -- это ноль) = n2 (так как n1 -- это ноль) => n1 = n2.

Теперь единственность обратного (докажем это для произвольной абелевой группы с произвольной операцией звездочка *, а затем, рассмотрев аддитивную и мультипликативную группу поля получим необходимый результат): пусть a*a1=a*a2=e -- нейтральный элемент. Тогда a1 = a1*e = a1*(a*a2) = (a1*a)*a2 = e*a2 = a2.

Замечу, что в произвольной группе надо доказывать равенство левого и правого обратных элементов, то есть a*a1 = e => a1*a=e, однако в нашем случае группа абелева

+14
Ответить

мне никогда не понять

+47
Ответить

Потому что нужно попытаться понять, приложить усилие, а не просто прочитать.

0
Ответить

Благодарю, Александр! Теперь с твёрдой уверенностью могу сказать, что окончательно поняла введение в математический анализ 1 семестра!

+7
Ответить

Сложно

+3
Ответить

Ставь лайк, если как и я, ничего не понял даже в разжеванном объяснении. Кажется, я тупею.

+36
Ответить

Нахуя столько писать? Спросили почему

-3
Ответить

ага,  а кто мне даст объяснение  для 5ти классника, почему же  умножение  на минус дает минус,
 а умножение отрицательных чисел дает положительное число?

-1
Ответить

Нифига не понятно, но очень интересно :)

+1
Ответить
Прокомментировать

Я не разу не математик, но постараюсь объяснить, как это вижу я. 

Возьмем число 1. Почему именно его? Потому что при умножении любого числа на один, получается тоже самое число. На мой взгляд, 1 - это базовое значение, которое формирует все другие числа, к примеру, число 5 - это 1+1+1+1+1. 

Так вот, -1 - это отрицание этой базового значение, то что в логике называется НЕ. Например, ты говоришь: "Сегодня НЕ будет дождя", тогда "сегодня будет дождь" - это 1, а НЕ - это минус. 

Отвечая на вопрос, почему -(-1)=1, следует размышлять по аналогии, что это двойное отрицание. К примеру, когда ты говоришь: "Я НЕ думаю, что сегодня НЕ будет дождя", ты имеешь ввиду боле простую конструкцию "Сегодня будет дождь". Таким образом двойное отрицание порождает первичное значение, без первого отрицания. Тоже самое и с математикой. Когда мы умножаем -2 на минус -3, мы имеем ввиду -(-(2*3))=-(-6)=6. Или в лингвистическом виде НЕ 3 * НЕ 2= НЕ(НЕ(6))= 6. 

Вот так вот. 

За грубое использование терминов да постоят меня математики и бог.

24
-1

Мат логика

0
Ответить
Прокомментировать

Для начала, надо разобраться, что такое "минус". Прежде всего, это знак операции вычитания. Так же, этот знак используют для обозначения отрицательных чисел. Это, в принципе, логично, так как отрицательное число - ни что иное, как абстракция, сводящая вычитание к сложению. Вместо того, чтобы вычесть 1, можно прибавить -1. То есть, Х - 1 = Х + (-1). Так как вычитание - операция, обратная сложению, по той же логике, вычесть -1 - то же самое, что прибавить 1. То есть, Х -(-1) = Х + 1, или "минус на минус дает плюс".

16
-5
Прокомментировать

Рассмотрим пример: 5х – 30 = 3х – 18. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные перенести в правую: 5х – 3х = 30 – 18, 2х = 12, х = 6. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Теперь члены с неизвестными перенесём в правую часть, а без неизвестных - в левую: 18 – 30 = 3х – 5х, (-12) = (-2х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 6.

Что демонстрирует этот пример? Становится понятна логика, которой определяются правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путём, без отрицательных чисел.

Julia Danilushkinaотвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
11
-2
Прокомментировать

Потому что если перевернуть один минус вертикально и положить его на второй горизонтальный минус, то получится плюс. Всё предельно легко и ясно.

5
-1
Прокомментировать
Читать ещё 8 ответов
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью