Почему минус на минус дает плюс?

22055
10
2
13 ноября
09:40
январь
2016

Требуется доказать, что (-a)(-b)=ab.

Будем действовать в рамках аксиоматики действительных чисел (wikia.com).

Для начала докажем, что -a = (-1)a. Итак, a + (-1)a = 1a + (-1)a = (1 + (-1))a по аксиомам о существовании нейтрального элемента и о дистрибутивности умножения. Далее (1 + (-1))a = 0a по аксиоме о противоположном элементе. Покажем, что 0a = 0.

0a + a = 0a + 1a = (0+1)a = 1a = a. По аксиоме о существовании нейтрального элемента по сложению, получаем 0a + a = a = 0 + a, откуда 0a = 0. Возвращаясь назад, мы получили, что a + (-a) = 0 = 0a = a + (-1)a. То есть, действительно, -a = (-1)a.

Далее в рамках аксиоматики делаем следующие преобразования: (-a)(-b) = (-1)a(-1)b = (-1)(-1)ab= -(-1)ab (в последнем равенстве мы заменили (-1)(-1) на -(-1), т.к. ранее мы доказали, что -a = (-1)a).

Покажем, что -(-a) = a. Из аксиомы о противоположном элементе -(-a) - это такой элемент x, что (-a) + x = 0. Из той же аксиомы получаем, что a + (-a) = (-a) + a = 0, значит, этот элемент равен a. Отсюда -(-1) = 1. Значит, -(-1)ab = 1ab = ab по аксиоме о существовании нейтрального элемента по умножению. Окончательно, (-a)(-b) = ab. Что и требовалось доказать.

Конечно, это доказательство упрощено и не содержит таких важных вещей, как, например, доказательство единственности противоположного элемента и единственности нуля, как решения уравнения x + a = a. Эти тривиальные задачи оставлены читателю в качестве упражнения.

Александр КульковОтвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
93
8
20 мая
19:57

Рассмотрим пример: 5х – 30 = 3х – 18. Чтобы найти ответ, необходимо члены с неизвестными оставить в левой части, а остальные перенести в правую: 5х – 3х = 30 – 18, 2х = 12, х = 6. При решении этого уравнения нам даже не встретились отрицательные числа. Теперь члены с неизвестными перенесём в правую часть, а без неизвестных - в левую: 18 – 30 = 3х – 5х, (-12) = (-2х). При деление отрицательного числа на отрицательное получаем положительный ответ: х = 6.

Что демонстрирует этот пример? Становится понятна логика, которой определяются правила действий над отрицательными числами: результаты этих действий должны совпадать с ответами, которые получаются другим путём, без отрицательных чисел.

Julia DanilushkinaОтвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
9
0
январь
2016

Для начала, надо разобраться, что такое "минус". Прежде всего, это знак операции вычитания. Так же, этот знак используют для обозначения отрицательных чисел. Это, в принципе, логично, так как отрицательное число - ни что иное, как абстракция, сводящая вычитание к сложению. Вместо того, чтобы вычесть 1, можно прибавить -1. То есть, Х - 1 = Х + (-1). Так как вычитание - операция, обратная сложению, по той же логике, вычесть -1 - то же самое, что прибавить 1. То есть, Х -(-1) = Х + 1, или "минус на минус дает плюс".

8
0
показать ещё 8 ответов
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта