Как решается парадокс лжеца?

Здравствуйте.

Давайте разберем этот парадокс.

Изначально фраза была такая: Некоторый критянин сказал: "все критяне лжецы". То есть всегда лгут. Но может ли так быть? Ведь и он критянин! Значит, и он лжет, в том числе и сейчас. Значит, не все лжецы...

Данная фраза относится ко всем критянам. Парадокс в том, что сам высказывающийся из критян, а значит, это относится и к нему. При этом то, что другие лгут, не парадокс. Это может быть обычная ложь, а может быть правда. Парадокс именно в том, что относится к самому критянину.

Итак, парадокс выглядит так: "Я лгу". С помощью формулы это можно выразить так: А = "не А".

В чем парадокс? Если А ложно, то ситуация "не А" не выполняется, а значит, А истинно, выполняется ситуация А. А в чем она состоит? В том, что А ложно, выполняется "не А" и так по кругу до бесконечности.

И что же? Кольцо Мёбиуса! Если А истинно, то оно ложно. А если А ложно, то оно истинно. Что же страшного тут? Чего все так испугались? Того, что из истины выводится ложь. Если это возможно в данном случае, возможно и в других. А значит, все наше рассуждение ненадежно. Всезде можно ждать подвоха. На логику больше нельзя опереться. Крах мысли...

Однако посмотрим на этот парадокс с другой стороны. Фраза "я лгу" это суждение (претендует им быть). А что такое суждение? Знак ситуации. Даже точнее сказать это формула, которая задает предложение, которое является знаком ситуации. Это так же, как и понятие. Понятие есть формула, которая задает имя - знак предмета. Но имена, как и понятия, не бывают истинными или ложными, потому что это знаки предметов, а не ситуаций. Ситуация состоит в наличии или отсутствии определенных отношений между предметами, а также в наличии или отсутствии тех или иных свойств предметов.

Предложения, когда описывают ситуации, могут совпадать или не совпадать с ситуациями в смысле наличия или отсутствия тех или иных свойств или отношений. Ситуации можно считать положительными, когда в них речь про наличие чего-либо, и отрицательными, когда речь про отсутствие чего-либо. При этом сама ситуация не бывает истинной или ложной. То, что у Вас есть автомобиль не истинно и не ложно, а это положительный факт. А если у кого-то нет автомобиля, это отрицательный факт. А вот суждения и предложения - знаки ситуаций, наши мнения о ситуациях - они бывают истинными, когда совпадают по положительности или отрицательности с фактами, и ложными в противном случае. Это надо четко понимать.

Ваш сосед говорит про Вас: "у него есть автомобиль". Его фраза положительна - есть автомобиль. И ситуация положительна - автомобиль на самом деле есть. Вот совпадение. Его высказывание истинно. А если кто-то скажет, что у Вас нет автомобиля, его предложение будет отрицательно, не совпадет с Вашей ситуацией, будет поэтому ложно.

Итак, истинно то суждение (высказывание, предложение), которое совпадает с реальностью, а ложно то, которое не совпадает. Но при этом оба высказывания обозначают вполне конкретный вариант ситуации и вопрос лишь в том, какой из них имеет место в действительности.

Теперь вспомним, что любой знак должен быть определен до использования. Имя как знак определяется с помощью понятия - смысла имени, который связывает уже известные вещи и тем самым указывает на новый предмет. Понятия могут определяться прямым указанием (это заяц, это волк), или косвенно - через связь с другими словами (волк есть представитель класса млекопитающих, отряда хищников, семейства псовых...) и т. д.

Предложение (высказывание) определяется через суждение - связь предметов и отношений. Без этого определения нельзя так же, как с именами. И вот это часто забывается. Все, что относится к определению понятий, также относится и к суждениям. А поэтому требование отсутствия круга также применимо.

Посмотрим на различные суждения.

А = "Идет дождь". Определяется опытом и опытно проверяется. Истинно или ложно в зависимости от погоды.

Б = "Понизился курс рубля". Определяется опытом (экономическая ситуация). Проверяется опытом. Истинно или ложно в зависимости от реального положения дел.

Оба высказывания указывают непосредственно на ситуации, проверяются опытом.

В = "А истинно". Определяется логически. Проверяется через А. Указывает на реальность опосредованно, через А.

Г = "Если А, то Б или В". Определяется логически. Проверяется через указанные высказывания и логические операции. Указывает на реальность опосредованно, через высказывания А, Б, В.

То есть высказывания могут быть знаками ситуаций как прямо (А, Б) или косвенно, через другие высказывания (В через А; Г через А, Б, В, в итоге через А и Б).

А теперь взглянем фразу (вещь, которая претендует на роль суждения, высказывания): Д = "не Д". Очевидно, что нарушено требование отсутствия круга в определении. Ведь сначала надо Д определить, что оно означает. Но в определении оно само же и содержится, при том с отрицанием. Поэтому это неправильное суждение, оно определено неверно.

Далее, оно не указывает ни на какую ситуацию, а возвращается к самому себе вновь и вновь, все время переворачиваясь то вверх, то вниз из-за наличия отрицания. А значит, это вообще не суждение, не знак ситуации. Поэтому оно и не может быть истинным или ложным, не может доказываться или опровергаться. Не может быть в частности примером того высказывания, в котором нарушилась логика.

Такого же свойства тавтология рыцаря "Я говорю правду". Это не высказывание. А это А и все. Это не закон тождества! Сравните: "А всегда равно А" (тождество) и "смысл А в том, что А верно" (фраза, которая, как мы увидели, не является суждением). Тавталогия лишь не перевертывается в отличие от парадокса, потому что в ней нет отрицания.

Давайте посмотрим еще примеры подобных перлов.

f(x) = sin(x); g(x) = cos(x); h(x) = f(x) + g(x).

Мы понимаем все эти функции, потому что знаем что такое sin(x) и cos(x) из математики.

А теперь: p(x) = -p(x) или q(x) = 1 / q(x). Подобные определения дают в математике уравнения. Они имеют решение. Первое - тождественный нуль, второе - единица или минус единица. В логике нет среднего между истиной и ложью. Иначе бы обе фразы давали какое-нибудь тождественно третье, например, неопределенное, значение. Еще лучше так: r(x) = r(x). Все что угодно, но смысл не ясен!

Но, если для чисел можно определиться через уранения, то для фраз так нельзя. Поэтому фразы типа "я лгу" или "я говорю правду" не являются суждениями. Суждения указывают на реальные ситуации, а не на неизвестное тождественно неопределенное.

Однако кто-то может возразить: а как же фразы типа "это написано по-русски" или "эта фраза состоит из 30 знаков"? Но здесь суждения относятся не сами к себе, а к способу своего выражения. А этот способ можно проверить опытом и круга здесь нет (оба высказывания истинны).

Вернемся теперь к критянам. Так ли бессмысленна исходная фраза? Критянин мог всегда лгать, но здесь он, как все философы, "вышел из себя в теорию" и сказал о себе как бы со стороны "я (тот другой, а не тот, кто это говорит), а также все остальные критяне - лжецы)". Здесь нет парадокса. Так и о себе самом каждый может сказать без всякого парадокса. При этом он может солгать, а может сказать правду.

А откуда же парадокс? От неразумной попытки втиснуть этого человека в его обычное поле жизни, не давать ему посмотреть на себя со стороны.

Таких случаев много, например, знаменитый парадокс Рассела, основывающийся на ложном допущении существования множеств, содержащих самих себя в качестве своего элемента.

Этот пример должен нас отрезвлять. Великие ученые, маститые профессора впадают, я бы сказал, в умопомешательство и начинают думать о крахе науки от того, что не хотят различать эти контексты, а наоборот, все втискивают в одну плоскость. Таков же и пример в книге Ивана Сергеевича Тургенева "Рудин", где убеждение второго порядка - на счет других убеждений (первого порядка) - свели на первый порядок и вот вам противоречие! одно убеждение на первый случай... От таких построений и Гедель дошел до теоремы о неполноте содержательных теорий и теперь мы не уверены в возможности доказательства...

Желаю всем нашим читателям здравомыслия, внимательности и аккуратности!

Я решил его в юности. Решение состоит в том, что, нелогично адресовать вопрос самому вопросу. Область определения ответа не может включать сам текст вопроса. Поэтому, просто вопрос ни о чем - ведь, не обозначено, когда и где я лгу.