Алексей Шекалов
ноябрь 2015.
2294

Почему в природе почти все затухает экспоненциально?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
2
3 ответа
Поделиться

Могу немного дополнить ответ выше. Зачастую, и даже чаще всего, экспонента в физике возникает не как решение диффура, а как руками заданная функция.

Пример из астрофизики: вам нужно описать распространение ударной волны в плазме. Естественно, вам нужно каким-то образом задать функцию, локализованную в пространстве, т.е. имеющую на коротком промежутке большой пик. Для упрощения дальнейших расчетов легче всего взять какую-нибудь "хорошую", интегрируемую функцию в качестве профиля плотности. Вот и берут экспоненту, так как она быстро затухает, имеет характерную длину затухания, хорошо интегрируется и т.д..

С другой стороны у экспоненты есть замечательное свойство: при умножении двух экспонент их показатели складываются. В чатности это оказывается полезным в квантовой теории поля, где используются т.н. T- упорядоченные экспоненты в качестве операторов. В показателях таких экспонент находятся некие интегралы от Гамильтониана системы. Например, если в показателе одной такой экспоненты у вас есть интеграл от t1 до t2, а в показателе другой - от t2 до t3, то в результате перемножения таких экспонент у вас будет экспонента с показателем, где интеграл от t1 до t3 (по правилу сложения интегралов). В частности, так можно задавать оператор эвоюции квантовой системы.

Также экспоненты используют благодаря всойству их производной, а именно (e^ax)' = a e^ax. Таким образом физики, например, из группы строят т.н. алгебры Ли (экспоненциальное отображение), которые очень и очень нужны в современной теории поля.

5
0
Прокомментировать

Экспоненциально не только затухает, но и расщиряется. Экспоненциальная функция является решением дифференциального уравнения, описывающая механизм того самого процесса, приводящего к расширению или затуханию. Проще всего процесс можно проиллюстрировать на примере размножения. Если каждая пара особей (для простоты предположим, что они не умирают) родит по два детёныша, через одно поколение популяция удвоится, через два поколения учетверится и т.д. Это и есть экспоненциальный рост. Соответствующее дифференциальное уравнение (правда, в непрерывном времени) выглядит как dX(t)/dt=X(t) с решением X(t)=exp(t). Если же система затухает, то уравнение dX(t)/dt=-X(t) с решением X(t)=exp(-t).

4
0
Прокомментировать

Потому что наш мир устроен по принципу: Миг между прошлым и будущим.

А экспонента характеризует обратную связь. Для затухающих экспонент - обратная связь отрицательная. Для растущих - обратная связь положительная.

В силу своих интегральных свойств, экспонента - это признак "интегратора" или накопителя. По экспоненте остывает нагретое тело. По экспоненте разряжается конденсатор. По экспоненте  убывает ток в катушке. По экспоненте  убывает скорость массивного тела, двигающегося по инерции.

Поэтому полный процесс называется "Накопительная Отрицательная Обратная  Связь"  или НООС. По принципу НООС работает поплавковая камера карбюратора, или  в домашних условиях - сливной бачок унитаза. Если подачу воды (или слив) создавать линейным устройством, то дифференциальное уравнение будет как раз давать своим решением - падающую экспоненту.

Почему наш мир охвачен обратными связями (при движении энергетических субстанций - электрического заряда, магнитного поля, тепла, механического заряда при инерции)?  Да потому что он устроен по принципу "Миг между прошлым и будущим".

0
0
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью