Почему в природе почти все затухает экспоненциально?

397
2
0
6 ноября
04:15
ноябрь
2015

Могу немного дополнить ответ выше. Зачастую, и даже чаще всего, экспонента в физике возникает не как решение диффура, а как руками заданная функция.

Пример из астрофизики: вам нужно описать распространение ударной волны в плазме. Естественно, вам нужно каким-то образом задать функцию, локализованную в пространстве, т.е. имеющую на коротком промежутке большой пик. Для упрощения дальнейших расчетов легче всего взять какую-нибудь "хорошую", интегрируемую функцию в качестве профиля плотности. Вот и берут экспоненту, так как она быстро затухает, имеет характерную длину затухания, хорошо интегрируется и т.д..

С другой стороны у экспоненты есть замечательное свойство: при умножении двух экспонент их показатели складываются. В чатности это оказывается полезным в квантовой теории поля, где используются т.н. T- упорядоченные экспоненты в качестве операторов. В показателях таких экспонент находятся некие интегралы от Гамильтониана системы. Например, если в показателе одной такой экспоненты у вас есть интеграл от t1 до t2, а в показателе другой - от t2 до t3, то в результате перемножения таких экспонент у вас будет экспонента с показателем, где интеграл от t1 до t3 (по правилу сложения интегралов). В частности, так можно задавать оператор эвоюции квантовой системы.

Также экспоненты используют благодаря всойству их производной, а именно (e^ax)' = a e^ax. Таким образом физики, например, из группы строят т.н. алгебры Ли (экспоненциальное отображение), которые очень и очень нужны в современной теории поля.

4
0
ноябрь
2015

Экспоненциально не только затухает, но и расщиряется. Экспоненциальная функция является решением дифференциального уравнения, описывающая механизм того самого процесса, приводящего к расширению или затуханию. Проще всего процесс можно проиллюстрировать на примере размножения. Если каждая пара особей (для простоты предположим, что они не умирают) родит по два детёныша, через одно поколение популяция удвоится, через два поколения учетверится и т.д. Это и есть экспоненциальный рост. Соответствующее дифференциальное уравнение (правда, в непрерывном времени) выглядит как dX(t)/dt=X(t) с решением X(t)=exp(t). Если же система затухает, то уравнение dX(t)/dt=-X(t) с решением X(t)=exp(-t).

4
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта