Насколько понимаю то жить работой это значит человек обожает свою работу и полностью в ней растворяется не смотря на время и выходные (возможно это какой-то проект очень важный для этого человека, слышали подобнуютно фразу "этот проект его детище он носился с ним так долго"). А жить на работе, это когда вынужден находится на работе много лишнего времени, по разным причинам. Не успел в рабочее время сделать всё поручение на день, попросил подменить или не вышел сменщик, приказал начальник и во избежание конфликта согласился и так далее.
Может я повторюсь, но жить работой- это пребывать мыслями в ее задачах, без разницы местонахождения. А жить на работе- это иметь диван рядом с рабочим столом и все время им пользоваться. Мысли могут быть где угодно, но тело- на работе всегда.