Конечно, болеют.
Вот фотография стрекозы. Очень древняя моя фотография. Извините за качество.
Я спросил у учителя биологии -- что это за красные шарики на крыльях стрекозы. Это яйца клещей которые будут паразитировать на стрекозе когда вылупятся. Правда часть видов клещей используют стрекоз лишь как средство для распространения своих яиц.
Сами клещи коих великое множество разных насекомыми не являются. Но может быть они тоже вас интересуют? Вы же знаете, что клещи переносят вирус клещевого энцефалита. А есть еще и несколько видов болезнетворных бактерий которых они также переносят. Например болезнь Лайма.
А комары? Разве вы не слышали о малярии которую разносят некоторые их виды? Комары заражены малярийными плазмодиями.
Бактерии, вирусы, паразитические грибы с удовольствием поражают всех, в том числе и насекомых.
Переносчики, которые сами не болеют — не по теме вопроса.