Я не беседовал с бурятами, но некоторые теоретические предположения высказать могу.
Вообще, Монгольская Империя объединяла тучу народов - уйгуров, найманов, казахов, татар, кераитов, меркитов и так далее. С точки зрения В. Яна (а может и не только его), монголы считали себя потомками хунну, то есть гуннов, и в частности хана Итиля, т.е. Атиллы. Предки бурятов тоже входили в империю гуннов, так что имеют сходные права с монголами. Позднее в Монгольскую Империю они тоже вошли, и, скорее всего, воевали на её стороне, т.к. у монголов была привычка формировать тумены из окрестных народов. Соответственно, буряты и на монгольскую боевую славу тоже могут претендовать. Культ Чингисхана силён, и народы, которые когда-либо имели к нему отношение, видят его как великого предка и правителя. Так что, думаю, буряты могут иметь на Монгольскую империю взгляд, описанный в вашем вопросе.
Нет, буряты не ощущают себя частью великой Монголии. Ну как мне показалось. Живу среди них несколько лет. Любят стрелять из лука, уважают борьбу, часто ценят свои традиции. Я общался с монголами. На мой взгляд это два совершенно разных народа.