Почему экспонента настолько распространенная функция?

248
2
0
26 октября
22:17
октябрь
2015

Ну это смотря где. Есть целый класс функций, которые называются экспоненциальными. Это функции типа a^x, где a - любое действительное число. Среди таких функций выделяется случай, когда a = e. Для того, чтобы понять почему, можно посмотреть на ряд Тейлора этой функции вблизи нуля, который выглядит так: 1 + x + x^2/2 + ... + x^n/n + .... Дело в том, что в остальных случаях, когда a не равен e, каждое слагаемоя ряда Тейлора содержит ln(a) в определенной степени. А это, в свою очередь, связано с производной функций типа a^x. (a^x)' = a^x ln(a), и при a = e мы получаем (e^x)' = e^x. Происходит так из-за особенности определения самого числа e. Оно, можно сказать, подобрано таким образом, чтобы функция не менялась при дифференцировании, а ряд Тэйлора, соответсвенно, был бы таким простым. Поэтому и случай с a = e настолько выделенный.

Причины, по которой эта функция много где фигурирует в физике, такая же. В физике иногда нужно искусственно ввести быстро растущую/убывающую функцию, ну и из всех экспоненциальных выбирают e^x или e^-x. Примечательно также то, что много где в физике возникает простое дифференциальное уравнение типа y'(x) = y(x), решением которого и является экспонента.

2
0
октябрь
2015

В живой природе прирост пропорционален популяции (при отсутствии ограничения по ресурсам) , что описывается экспонентой.

Автокатализ (в т.ч. горение) тоже развивается по этому закону.

Люди вообще любят быстроразвивающиеся самоподдерживающиеся процессы, поэтому экспонента так популярна.

Maksim DrobyshevОтвечает на ваши вопросы в своейПрямой линии
1
0
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта