Sima Orekhanov
октябрь 2015.
81111

Можно ли привести пример красоты математической конструкции, понятный гуманитарию?

Ответить
Ответить
Комментировать
2
Подписаться
65
20 ответов
Поделиться

Обожаю математику, приведу два примера, которые очаровывают меня

  1. Скатерть Улама

Как гласит легенда, однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он нарисовал клетки на листе бумаги и стал нумеровать их: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д. Смотри картинку

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/1d/Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg/200px-Ulam_spiral_howto_all_numbers.svg.png

Потом он начал обводить на этом поле простые числа. Простые числа это такие, которые делятся нацело только на 1 и на себя, например 7 (делится только на 1 и 7). И каково же было его удивление, когда эти обведенные числа стали выстраиваться в прямые линии. Если написать миллионы чисел и обвести простые, то получится такое

http://ru.convdocs.org/pars_docs/refs/69/68406/68406_html_24cb4422.png

На картинке светлые точки - простые числа, темные - обычные. По-моему очень красиво)

Использовалась эта спираль для поиска функций, решением которых являются простые числа, которые в свою очередь используются в криптографии.

  1. Игра жизнь

Правила очень простые, пусть вся вселенная это листок тетради к клетку, каждая клетка может быть или белой (живой), или черной (мертвой). У каждой клетки в тетради есть восемь соседей, можете легко проверить) Задается начальное состояние нашей вселенной, т.е. какую-то часть клеток красим в черный цвет, какую-то в белый.

Мертвая (черная клетка) может стать живой если рядом есть три живых соседа. Если у живой клетки есть два или три живых соседа, то она продолжает жить, если живых соседей больше или меньше чем 2 или 3, то она умирает или от одиночества, или от голода.

Игра запускается, и с каждый шагом просто обновляется состояние всех клеток.

Так вот в зависимости от начального состояния, на доске могу возникать удивительные вещи. Вселенная может бесконечно расти, или умереть, могут возникать бесконечные циклы, например такие планерное ружье Госпера

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e5/Gospers_glider_gun.gif

В игре существуют так называемые райские сады или сады Эдема: состояние которые Вселенная никогда не сможет достигнуть.

Тут written.ru и тут michurin.net можете посмотреть как это выглядит.

Эта игра в общем имеет широкое отношение к теории автоматов, но понятна даже детям.

269
-6

510x510 = 260100

+2
Ответить

честно говоря не заметила никаких особенностей в первом примере - разве простые числа не разбросаны там рандомно?

+1
Ответить

Но ведь они оставляют пустые линии по диагонали, как проспекты)

+3
Ответить
Ещё 3 комментария

Очень мило когда человек настолько вовлечен в деятельность

+8
Ответить

особенно понравилось про " Игра жизнь ", будет чем на уроке заняться, а не эти тупые производные, константы, алгоритмы высчитывать))))

0
Ответить

Михаил, на уроке будет трудно) на каждом шаге игры ведь нужно пересчитать состояние всех клеток поля. Проще и полезнее запрограммировать это

+3
Ответить
Прокомментировать

Слово «красивый» ассоциируется в первую очередь с чем-то визуально-приятным, услаждающим наш взор — типа картины в музее. Такая красота в математике есть: некоторые математические объекты допускают представление в виде изображений, порой весьма приятных для глаз. На этой странице уже есть ссылки на завораживающе прекрасный и загадочный фрактал Мандельброта, но я не удержусь и покажу картинку.

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/b/b3/Mandel_zoom_07_satellite.jpg/1024px-Mandel_zoom_07_satellite.jpg

(Изображение: фрагмент множества Мандельброта, © Wolfgang Beyer | CC BY-SA. Больше картинок в статье в Википедии: wikipedia.org)

Вероятно, если бы мне не попалась на глаза в своё время книга «Красота фракталов» (авторы Пайтген Х.О., Рихтер П.Х.), я бы не стал математиком. (Впрочем, даже став им, я так и не понял, что написано в этой книге.) Кривые Безье, на которых основана вся современная векторная графика, также описываются математически. Можно привести и другие примеры.

Однако, само понятие красоты не ограничивается только визуальным аспектом. Бывают красивые стихи, красивые отношения, красивый футбол, красивые рассуждения, красивые математические конструкции.

Красота в математике — это тонкая грань между простотой и сложностью, естественностью и необычностью, загадкой и её решением. Красиво то, что позволяет нам увидеть больше, чем мы видели мгновение назад. Красиво то, что нас удивляет.

Видимо, категория красоты впервые возникла в математике в Древней Греции, с появлением геометрии — чем ещё, кроме эстетического наслаждения, можно объяснить желание изучать совершенно абстрактные картинки, составленные из прямых, отрезков и окружностей?

Поставьте себя на место первых геометров: практическая значимость большей части ваших изысканий станет понятной лишь спустя много столетий. А сейчас вы просто чертите палочкой на песке треугольники и обнаруживаете удивительную закономерность: какой бы треугольник вы ни построили, сумма его внутренних углов всегда составляет развёрнутый угол (тот, который получается, если стороны угла лежат на одной и той же прямой, но по разные стороны от вершины).

http://schurov.com/pics/angles.gif

(Это и последующие изображения основаны на построении Andy Talmadge в программе GeoGebra, лицензия CC BY-SA 3.0, geogebra.org)

Вы чувствуете, что это не может быть случайностью. Должна быть какая-то причина, какое-то объяснение. Но на картинке его нет. Этот факт не даёт вам покоя, вы думаете о нём день и ночь. Наконец — быть может, почти случайно — вы добавляете новый штрих к чертежу с треугольником: проводите прямую, проходящую через одну из его вершин параллельную противоположной стороне.

http://schurov.com/pics/angles-parallel-noangles.png

Смотрите на рисунок несколько минут... И внезапно замечаете три угла, равных углам вашего треугольника, которые вместе образуют развернутый угол. Вот они, перед вами!

http://schurov.com/pics/angles-parallel.png

(Интерактивный виджет: geogebra.org)

Теперь понятно, что никак иначе и быть не могло. То, что вчера казалось неразрешимой загадкой, стало очевидным фактом. Как будто туман рассеялся, и вашему мысленному взору открылся удивительный и прекрасный вид.

Вы смотрите на свой чертёж, состоящий лишь из нескольких отрезков, и понимаете, что это одна из самых красивых картин в вашей жизни.

Примерно так выглядит математическая красота.

153
-1

"Красивым" может быть только визуальное представление структур и данных, действительно. Конечность и шик различных законов и теорем это элегантность.

-5
Ответить

опять дрочить...

+7
Ответить
Прокомментировать

Ещё одна очень любопытная вещь - парадокс дней рождения. Как Вы думаете, сколько людей должно находиться в комнате, чтобы с вероятностью более, чем 1/2 у кого-то из них совпал бы день рождения? Ответ Вас точно удивит: всего 23 человека!

Доказательство этого факта весьма логичное и изящное, и, возможно, оно будет понятно гуманитариям.

Вероятность (P1),что у какого-то человека день рождения в определённый день P1=1/365. С вероятностью (P2=1-1/365) у любого другого, находящегося в комнате, день рождения не совпадает с первым. Аналогично P3=1-2/365. Рассмотрим n человек. Pn=1-(n-1)/365.

Вероятность P"(что ни у кого из рассматриваемых персон не совпадают дни рождения) P"=(1-1/365)*(1-2/365)...(1-(n-1)/365)- [равна произведению рассмотренных вероятностей].

Теперь нам потребуется немного специальных знаний, а именно информация о разложении экспоненты в ряд Тейлора. (e^x=1+x+x^2/2+....). То есть (1-1/365) примерно равняется e^(-1/365). Тогда формулу для нахождения P" можно переписать следующим образом:

P"=e^(-1/365)*e^(-2/365)...*e^(n-1)/365=e^[(-1-2..-(n-1))/365] Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

P"=e^(n*(n-1)/2). Ну и просто подбираем n таким образом, чтобы P*= 1-P">1/2, где P*- вероятность, что дни рождения совпали.

84
-7

:) И любой гуманитарий сразу же возразит: Как так? Это же значит, что в любой школе в любой момент времени более чем в половине классов должны быть ученики с совпадающими днями рождения! Но часто вы видели чтобы у учеников в классе совпадали дни рождения? В половине случаев?!

+4
Ответить

Naeel, во-первых, вероятность более 50%, но всё же не 100% уверенность.

А во-вторых, могу рассказать про свои классы( я однажды сменила школу). Первый раз в классе были близняшки, и у меня совпадал день рождения с одной из одноклассниц. Я была её старше на 15 минут:) В другом классе у двух девочек совпадал день рождения, правда с разницей в один год.

Ну и вообще этот парадокс - не просто забавный факт. Он широко используется в криптографии, например.

0
Ответить

Во-первых, вероятность 0.5 при нормальном распределении именно означает, что при большом количестве опытов количество целевых событий будет стремиться именно к 50%. И на 100% можно быть уверенным, что это так. Иначе вероятность события ≠ 0.5

Во-вторых, мне возражать на это возражение бесполезно, так как я не гуманитарий: на самом деле в любом школьном классах вероятность совпадения гораздо-гораздо меньше 0.5, так как описанное в ответе вычисление вообще не применимо к школьному классу: в школьном классе одногодки, а расчёт выполнялся для совокупности людей любого возраста.

Я привёл этот комментарий, как иллюстрацию того, что гуманитариям не будет очевиден этот пример. Гуманитарий вероятнее всего не станет вникать в вычисления, а попытается применить сделанный вывод (о достаточности 23 человек в комнате) к своему опыту. "Ага — подумает гуманитарий — в школе-то такое не наблюдалось в 50% случаев! Чё за фигня?"

Т.е. я считаю, что не катит этот пример, как «иллюстация краоты математики, понятная даже гуманитарию»

+6
Ответить
Прокомментировать

Мне кажется у функции на этой картинке тоже есть определенная красота... ))

http://1.bp.blogspot.com/-Tc_lbohNVm0/Ty1xzm6XrmI/AAAAAAAAAuE/fRhotskGPKk/s1600/%25D1%2584%25D0%25BE%25D1%2580%25D0%25BC%25D1%2583%25D0%25BB%25D0%25B0%2B%25D0%25B3%25D1%2580%25D1%2583%25D0%25B4%25D0%25B8.png

41
-12

О, Mac OS:)

0
Ответить

Причем форма реального объекта тоже зависит от математики и физики

0
Ответить
Прокомментировать

Пример штуки, красота которой понятна гуманитариям, а как она получается математически не так просто понять даже многим технарям, это конечно множество Мандельброта: tilde.club

Там можно выделить отдельные области фрактала, приблизиться к отдельным веточкам и делать это до бесконечности. (*оказывается, на этом конкретном сайте - не до бесконечности, но есть другие генераторы).

То, что видно на картинке (цитата из Википедии) - "множество таких точек c на комплексной плоскости, для которых итерационная последовательность z_{n+1} = {z_n}^2 + c при z_0 = 0 является ограниченной. То есть, это множество таких c, для которых существует такое действительное R, что неравенство |z_n|<R выполняется при всех натуральных n." - это то, что изображено черным цветом. А радужные цвета снаружи - это некая характеристика того, насколько быстро, для данной точки с, z_n с увеличением n уходит в бесконечность.

Прикольно тут именно то, что из маленькой математической формулы получается невероятно сложная и навороченная штука, подобные которой мы скорее привыкли видеть в живой природе или в искусстве.

27
-3
Прокомментировать
Читать ещё 15 ответов
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью