Можно ли привести пример красоты математической конструкции, понятный гуманитарию?

76000
20
3
25 октября
19:44
октябрь
2015

Обожаю математику, приведу два примера, которые очаровывают меня

1. Скатерть Улама

Как гласит легенда, однажды математику довелось присутствовать на очень длинном и скучном докладе. Чтобы развлечься, он нарисовал клетки на листе бумаги и стал нумеровать их: в центре поставил единицу, а затем, двигаясь по спирали, двойку, тройку и т. д. Смотри картинку

Потом он начал обводить на этом поле простые числа. Простые числа это такие, которые делятся нацело только на 1 и на себя, например 7 (делится только на 1 и 7). И каково же было его удивление, когда эти обведенные числа стали выстраиваться в прямые линии. Если написать миллионы чисел и обвести простые, то получится такое

На картинке светлые точки - простые числа, темные - обычные. По-моему очень красиво)

Использовалась эта спираль для поиска функций, решением которых являются простые числа, которые в свою очередь используются в криптографии.

2. Игра жизнь

Правила очень простые, пусть вся вселенная это листок тетради к клетку, каждая клетка может быть или белой (живой), или черной (мертвой). У каждой клетки в тетради есть восемь соседей, можете легко проверить) Задается начальное состояние нашей вселенной, т.е. какую-то часть клеток красим в черный цвет, какую-то в белый.

Мертвая (черная клетка) может стать живой если рядом есть три живых соседа. Если у живой клетки есть два или три живых соседа, то она продолжает жить, если живых соседей больше или меньше чем 2 или 3, то она умирает или от одиночества, или от голода.

Игра запускается, и с каждый шагом просто обновляется состояние всех клеток.

Так вот в зависимости от начального состояния, на доске могу возникать удивительные вещи. Вселенная может бесконечно расти, или умереть, могут возникать бесконечные циклы, например такие планерное ружье Госпера

В игре существуют так называемые райские сады или сады Эдема: состояние которые Вселенная никогда не сможет достигнуть.

Тут written.ru и тут michurin.net можете посмотреть как это выглядит.

Эта игра в общем имеет широкое отношение к теории автоматов, но понятна даже детям.

249
6
октябрь
2015

Слово «красивый» ассоциируется в первую очередь с чем-то визуально-приятным, услаждающим наш взор — типа картины в музее. Такая красота в математике есть: некоторые математические объекты допускают представление в виде изображений, порой весьма приятных для глаз. На этой странице уже есть ссылки на завораживающе прекрасный и загадочный фрактал Мандельброта, но я не удержусь и покажу картинку.

(Изображение: фрагмент множества Мандельброта, © Wolfgang Beyer | CC BY-SA. Больше картинок в статье в Википедии: wikipedia.org)

Вероятно, если бы мне не попалась на глаза в своё время книга «Красота фракталов» (авторы Пайтген Х.О., Рихтер П.Х.), я бы не стал математиком. (Впрочем, даже став им, я так и не понял, что написано в этой книге.) Кривые Безье, на которых основана вся современная векторная графика, также описываются математически. Можно привести и другие примеры.

Однако, само понятие красоты не ограничивается только визуальным аспектом. Бывают красивые стихи, красивые отношения, красивый футбол, красивые рассуждения, красивые математические конструкции.

Красота в математике — это тонкая грань между простотой и сложностью, естественностью и необычностью, загадкой и её решением. Красиво то, что позволяет нам увидеть больше, чем мы видели мгновение назад. Красиво то, что нас удивляет.

Видимо, категория красоты впервые возникла в математике в Древней Греции, с появлением геометрии — чем ещё, кроме эстетического наслаждения, можно объяснить желание изучать совершенно абстрактные картинки, составленные из прямых, отрезков и окружностей?

Поставьте себя на место первых геометров: практическая значимость большей части ваших изысканий станет понятной лишь спустя много столетий. А сейчас вы просто чертите палочкой на песке треугольники и обнаруживаете удивительную закономерность: какой бы треугольник вы ни построили, сумма его внутренних углов всегда составляет развёрнутый угол (тот, который получается, если стороны угла лежат на одной и той же прямой, но по разные стороны от вершины).

(Это и последующие изображения основаны на построении Andy Talmadge в программе GeoGebra, лицензия CC BY-SA 3.0, geogebra.org)

Вы чувствуете, что это не может быть случайностью. Должна быть какая-то причина, какое-то объяснение. Но на картинке его нет. Этот факт не даёт вам покоя, вы думаете о нём день и ночь. Наконец — быть может, почти случайно — вы добавляете новый штрих к чертежу с треугольником: проводите прямую, проходящую через одну из его вершин параллельную противоположной стороне.

Смотрите на рисунок несколько минут... И внезапно замечаете три угла, равных углам вашего треугольника, которые вместе образуют развернутый угол. Вот они, перед вами!

(Интерактивный виджет: geogebra.org)

Теперь понятно, что никак иначе и быть не могло. То, что вчера казалось неразрешимой загадкой, стало очевидным фактом. Как будто туман рассеялся, и вашему мысленному взору открылся удивительный и прекрасный вид.

Вы смотрите на свой чертёж, состоящий лишь из нескольких отрезков, и понимаете, что это одна из самых красивых картин в вашей жизни.

Примерно так выглядит математическая красота.

150
2
октябрь
2015

Ещё одна очень любопытная вещь - парадокс дней рождения. Как Вы думаете, сколько людей должно находиться в комнате, чтобы с вероятностью более, чем 1/2 у кого-то из них совпал бы день рождения? Ответ Вас точно удивит: всего 23 человека!

Доказательство этого факта весьма логичное и изящное, и, возможно, оно будет понятно гуманитариям.

Вероятность (P1),что у какого-то человека день рождения в определённый день P1=1/365. С вероятностью (P2=1-1/365) у любого другого, находящегося в комнате, день рождения не совпадает с первым. Аналогично P3=1-2/365. Рассмотрим n человек. Pn=1-(n-1)/365.

Вероятность P"(что ни у кого из рассматриваемых персон не совпадают дни рождения) P"=(1-1/365)*(1-2/365)...(1-(n-1)/365)- [равна произведению рассмотренных вероятностей].

Теперь нам потребуется немного специальных знаний, а именно информация о разложении экспоненты в ряд Тейлора. (e^x=1+x+x^2/2+....). То есть (1-1/365) примерно равняется e^(-1/365). Тогда формулу для нахождения P" можно переписать следующим образом:

P"=e^(-1/365)*e^(-2/365)...*e^(n-1)/365=e^[(-1-2..-(n-1))/365] Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии

P"=e^(n*(n-1)/2). Ну и просто подбираем n таким образом, чтобы P*= 1-P">1/2, где P*- вероятность, что дни рождения совпали.

36
3
показать ещё 18 ответов
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта