Зависят ли свойства будущего ребёнка от того, какой именно сперматозоид оплодотворит яйцеклетку, или они все идентичные?

Да, т.к. геномы сперматозоидов отличаются между собой.

Дело в том, что большинство клеток человека имеют 23 пары хромосом, а сперматозоиды в два раза меньше, всего 23 хромосомы. Разные сперматозоиды в ходе мейоза могут получать разные куски исходного генома отца (схематично изображено на картинке).

Также помимо этого в сперматозоидах могут появляться новые мутации (см., https://www.cell.com/cell/fulltext/S0092-8674(12)00789-1)