Rita Taloir
март 2019.
4511

Объясните решение парадокса о двух конвертах простыми словами, но детально?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
7
3 ответа
Поделиться

Это один из веселых парадоксов теории вероятности, в котором самое интересное - это не его объяснение, а причины возникновения подобных парадоксов. 

Условие из Википедии. Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна (что важно, может быть абсолютно любой). Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?

Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму X. В чужом конверте равновероятно может находиться 2X или X/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет:

(2X + X/2) / 2 = (5/4) * X

то есть больше, чем сейчас Х. Значит, обмен выгоден. 

В чем парадокс? Парадокс в двух утверждениях (1) обмен выгоден двум игрокам (2) можно даже не открывать свой конверт, а меняться сразу. 

Пример: предполагается, что если вы вытянули из конверта какие-нибудь 70 рублей, то это значит, что организаторы либо создали  пару (35 рублей в одном конверте, 70 рублей - в другом), либо (70  рублей, 140 рублей) . Вероятность обоих пар одинакова - это отчасти следует из того, что суммы могут быть любыми.

Самое забавное здесь состоит в том, что нет никакого парадокса. Все правильно, включая то, что меняться надо сразу не глядя на свой конверт. Но только при одном условии - что суммы в конверте могут быть любыми. Согласно условию, их размер с одной и той же вероятностью (пусть и выражающейся бесконечно малой величиной) могут быть как 10 рублей так и бесконечно много рублей. Ведь если есть верхний предел, то вся логика парадокса рушится. Предположим, сумма не может быть выше 1 млн. Вы вынимаете из конверта 1 млн - и все, меняться нельзя, так как вероятность того, что в другом конверте 2 млн равна нулю. Также меняться не выгодно, если вы вынете сразу что-то больше, чем 500 тыс., например, 750 тыс. рублей - в другом конверте просто не может быть 1,5 млн рублей, так как предел равен 1 млн.

Но как только в условиях любой задачи возникает и начинает активно действовать бесконечность, то любые выводы кажутся парадоксальными, но они парадоксальны лишь с точки зрения нашей логики, оперирующей в конечном мире

Для понимания этого вот задача попроще. Предположим, у нас бесконечное число людей и их надо посадить в бесконечной длинны автобус, все места в котором пронумерованы от 1 до бесконечности. Мы просто пересчитываем людей, присваиваем им номер, и каждому номеру даем свое место в автобусе с тем же номером. Все радостно расселись и мы видим, что пустых мест нет. Какой-нибудь 76567-й пассажир сидит на 76567-м месте. И вот приходит еще один человек - куда его посадить раз все места заняты? Ответ: посадить его первое место, а всех попросить передвинуться на место с номером равным их текущему номеру +1. К слову сказать, так можно посадить бесконечно число пассажиров, а потом еще бесконечное и так далее. Парадокс? Нет, не парадокс, а нормальная жизнь в условиях бесконечности, которая вышла из математической абстракции в реальный мир. В нормальном мире нашелся бы последний пассажир, которого бы попросили пересесть, а ему-то уже пересаживаться некуда (аналог последнего пассажира в задаче про конверты - это максимальная сумма, которая может быть положена в конверт). Но только здесь этот финал процесса пересаживаний "уходит" в бесконечность.

Логика рассуждения в этой задачке про автобус ровно такая же, как и в задаче про два конверта. Парадокса нет, есть нормальная жизнь в условиях материализовавшейся бесконечности (в данном случае бесконечности денег). Остается понять, простить и принять. Хотя для нас это выглядит парадоксальным, но только потому, что в привычном нам окружающем мире нет бесконечностей.

15
-1

что-то я видимо, не математик. я так и не понял, почему парадокс выгоден двум людям.

с верхними и нижними пределами всё понятно. но если я открываю например а там скажем... ну сумма которая меня устраивает.

зачем мне рисковать? да, может во втором больше.

но может и меньше, а мне, лично мне, нравится именно эта сумма.

стало быть, я не стану рисковать.
Вывод очень простой -  лучшее  враг хорошего.

Возможно, если решать это не в контексте конвертов а в виде уравнения - тогда прокатит.

но в том виде в каком парадокс представлен - почему-то заранее считается, оба человек решат обязательно рискнуть и попытаться выйграть больше, чем уже есть.

0
Ответить

Считается, что люди хотят больше денег :) Предположим, вы играете в монетку. У вас есть выбор: (1) получить 100 рублей сразу и не играть, (2) кинуть монетку и если выпадет орел, то получить 1000 рублей, а если решка, то ничего. В первом случае ожидания у вас 100 рублей, а во втором - 0*(1/2) + 1000*(1/2) = 500. Играть выгоднее, хотя есть возможность и ничего не получить. Но если вы играете в эту игру много раз, выигрывая и проигрывая, то, например, за 200 раундов в варианте (1) вы получите 100*200 = 20 000 рублей, а в варианте (2) ваш доход будет около 200*500 = 100 000 рублей. Поэтому имеет смысл рисковать, так как выигрыши перевесят проигрыши.

Если у вы играете только один раз, то тут все зависит от того, насколько вам нужны деньги. Если 100 рублей спасут вам жизнь, то вы никак не готовы рисковать, поскольку цена их потери для вас катастрофическая - стоимость риска очень высока. Если для вас 100 рублей - вообще не сумма, то риск для вас не имеет стоимости и вы просто сравниваете 100 рублей и 500 рублей как ожидаемый выигрыш в случае игры.

+1
Ответить
Ещё 3 комментария

пф))) тоже мне парадокс. надо всё таки убрать человеческий фактор из подобных уравнений.

потому что всегда можно наткнутся на типа вроде меня которому комфортнее взять то что есть и пойти по своим делам.

в этом случае он тупо не работает.

вобщем, понял. парадокс хороший но записан, на мой взгляд, не верно.

0
Ответить

Ну так вопрос же не в том, что вы предпочтете, а в том, что выгоднее и принесет больше денег. Именно это собственно и записано в формулировке.

0
Ответить

кому принесёт?)  как не считай, кто-то получит конверт больше а кто-то меньше.

парадокс лишь показывает что шансы якобы на твоей стороне.

это тот случай, когда на цифрах всё замечательно, а в реальности кому-то всё таки не выгодно будет. среднее значение тут ничего не меняет.
Я то ориентируюсь на конечный результат.

0
Ответить

А если, допустим, открыл конверт, а там 385 рублей. Следовательно, во втором конверте не может быть в 2 раза меньше, так как монеты в 0,5 рублей не существует. 

"45 рублей в одном конверте, 70 рублей - в другом)" - опечатка, 35р. должно быть.

0
Ответить

Ага, исправил опечатку, спасибо.
Что касается 385, то в принципе можно предположить, что деньги электронные и там дробить можно

0
Ответить

!! Вы это знали или сейчас нарассуждали?

0
Ответить

Не знал. Посмотрел объяснение в википедии, благо там есть ссылка на уважаемых людей. Оно никак не понравилось, написал как мог свое. Пример про автобус знал давно.

0
Ответить
Прокомментировать

Открыл ты конверт, там 100р, если это бОльшая сумма, то при обмене ты потеряешь 50р, если меньшая, то приобретешь 100, это справедливо для обоих игроков. И никакой магии, просто возможный выигрыш всегда больше возможного проигрыша.

0
0
Прокомментировать

Парадокс двух конвертов

Этот парадокс стал известен благодаря математику Мартину Гарднеру, и формулируется следующим образом: «Предположим, вам с другом предложили два конверта, в одном из которых лежит некая сумма денег X, а в другом — сумма вдвое больше. Вы независимо друг от друга вскрываете конверты, пересчитываете деньги, после чего можете обменяться ими. Конверты одинаковые, поэтому вероятность того, что вам достанется конверт с меньшей суммой, составляет ½. Допустим, вы открыли конверт и обнаружили в нем $10. Следовательно, в конверте вашего друга может быть равновероятно $5 или $20. Если вы решаетесь на обмен, то можно подсчитать математическое ожидание итоговой суммы — то есть, ее среднее значение. Она составляет 1/2х$5+1/2×20=$12,5. Таким образом, обмен вам выгоден. И, скорее всего, ваш друг будет рассуждать точно так же. Но очевидно, что обмен не может быть выгоден вам обоим. В чем же ошибка?»

Парадокс заключается в том, что пока вы не вскрыли свой конверт, вероятности ведут себя добропорядочно: у вас действительно 50-процентный шанс обнаружить в своем конверте сумму X и 50-процентный — сумму 2X. И здравый смысл подсказывает, что информация об имеющейся у вас сумме не может повлиять на содержимое второго конверта.

Тем не менее, как только вы вскрываете конверт, ситуация кардинально меняется (этот парадокс чем-то похож на историю с котом Шредингера, где само наличие наблюдателя влияет на положение дел). Дело в том, что для соблюдения условий парадокса вероятность нахождения во втором конверте большей или меньшей суммы, чем у вас, должна быть одинаковой. Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность. А это невозможно.

Для наглядности можно представить, что вы обнаруживаете в своем конверте один цент. Очевидно, что во втором конверте не может быть суммы вдвое меньше.

Любопытно, что дискуссии относительно разрешения парадокса продолжаются и в настоящее время. При этом предпринимаются попытки, как объяснить парадокс изнутри, так и выработать наилучшую стратегию поведения в подобной ситуации. В частности, профессор Томас Кавер предложил оригинальный подход к формированию стратегии — менять или не менять конверт, руководствуясь неким интуитивным ожиданием. Скажем, если вы открыли конверт и обнаружили в нем $10 — небольшую сумму по вашим прикидкам — стоит его обменять. А если в конверте, скажем, $1 000, что превосходит ваши самые смелые ожидания, то меняться не надо. Эта интуитивная стратегия в случае, если вам регулярно предлагают выбирать два конверта, дает возможность увеличить суммарный выигрыш больше, чем стратегия постоянной смены конвертов.

0
-1

В этом объяснении есть одна сложность. "Но тогда равновероятно любое значение этой суммы от нуля до бесконечности. А если равновероятно бесконечное число возможностей, в сумме они дают бесконечность" - это так, если вероятность каждого исхода есть некоторое фиксированное число. Но ведь вероятность исхода можно задать бесконечно малой величиной и тогда все ОК, никакой бесконечной суммы не выходит.

Пример для наглядности. Вам предлагают назвать любое число больше 0, но меньше 1, а вы еще не знаете, какое назвать. Вариантов бесконечно много, я например, предлагаю корень из 2 , умноженный на (12345/987664). Но в сумме вероятности исходов не дают бесконечность, потому что задаются бесконечно малыми величинами.

0
Ответить

Утверждение: 

если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет:

(2X + X/2) / 2 = (5/4) * X

неверно, нет никакого среднего, будет или больше, или меньше. Если вы конечно не поделите в конце деньги поровну.

0
Ответить

Согласен , нет никакого среднего ..Весь парадокс случился из за нечеткости формулировок. Надо говорить не о среднем, выигрыше , а о вероятности выигрыша. У обоих игроков есть одинаковая вероятность, как выиграть в два раза больше , так и проиграть в два раза больше, чем у них выпало. В такой формулировке не вижу парадокса.

0
Ответить

Парадокс возникает из за нечеткости формулировок. Нет никакого среднего, есть вероятность выиграть в 2 раза больше или проиграть в 2 раза и эти вероятности одинаковые для обоих. В такой формулировке не вижу парадокса.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью