По какому праву и при каких обстоятельствах и условиях родители могут, вправе и обязаны обозвать своего ребёнка псиной, собакой или свиньёй, назвать гнилым или обматерить?

таких прав у родителей нет, однако для верной оценки ситуации необходимо выслушать и другую сторону - возможно такие действия родителей можно обьяснить ( не оправдать, но обьяснить).
По какому поводу они так реагируют на ваше поведение? Какие именно претензии они предьявляют? Как вы относитесь к ним, к учебе, к своим домашним обязанностям - всё ли с вашей стороны происходит гладко?

Вряд-ли есть право, а тем более, обязанность, называть так ребёнка. Если родители называют так своего ребёнка, скорей всего у них не осталось аргументов и сил для иного общения. Использование обсценной лексики в разговоре признак бессилия и, скорей всего, ребёнок победил своих родителей. Только эта победа аукнется ему в жизни огромными проблемами.