Не совсем. Я лично знаю людей, которые, относительно большинства, читают очень много, причем как художественной литературы, так и научной, но при этом, к сожалению, испытывают некоторые проблемы с грамотным письмом. Такой склад ума, ничего не поделаешь.
Однако то, что чтение большого количества хорошей, грамотно написанной литературы во многих случаях действительно оказывает положительное влияние на грамотность человека - это факт.
В общем, делаем вывод о том, что грамотные люди чаще всего действительно много читают, а вот обратное выполняется далеко, очень далеко не всегда.
Читаю в захлеб, сколько себя помню, но грамотнее от этого не стал. Правда, если быть полностью объективным, то словарный запас растет постоянно.
Есть еще вариант, что мне, как иностранцу, сложно учитывать все аспекты грамматики. Как никак мешанина из 4 языков в голове дает о себе знать.