Можно ли качественно готовиться к ЕГЭ в 10-11 классах, чтобы поступить в хороший вуз, а оставшееся время спокойно отдыхать?

Спокойно отдохнуть вряд ли получится.

Во-первых, все вокруг вас только и будут говорить об экзаменах, подготовке и пр. В такой атмосфере сложно расслабиться.

Во-вторых, велика вероятность, что вы за несколько месяцев многое подзабудете. Многое, конечно, зависит от предметов, которые вы хотите сдавать, но как правило большинство учеников забывают большое количество материала даже за лето, пока как раз отдыхают. Если хочется отдохнуть, лучше уж сделать перерыв, а за полгода до ЕГЭ продолжить подготовку.