Сколько в мире стран?

Если считать, что в Вашем вопросе понятие страны тождественно понятию государства, то:

Официально признанных государств - 194(несмотря на то, что Палестина является наблюдателем ООН - она частично признанное государство). Лично я считаю, что это и есть точное количество стран.

К этому списку можно прибавить 12 государств с неопределённым статусом. И то, четыре из них не признаны ни одной страной ООН, поэтому, по моему мнению, они не являются полноценными государствами, однако странами в широком смысле этого слова, вполне могут. Однако признание странами ООН тоже довольно спорный вопрос для понятия государства и страны. Может ли например Турецкая Республика Северного Кипра, признанная только Турцией, считаться государством или страной? Как государство, оно на одном уровне с ДНР или ПМР(не признаны не одним государством-членом ООН). А как страна, то оснований для её образования меньше чем у Курдистана, который вообще никем не признан. Итого - 206 или 202 государства. И тут упомянуты только признанные хоть кем-то государства.

Что касается стран в широком понимании этого слова, то тут нельзя дать однозначный ответ. К списку государств(признанных и частично признанных), можно отнести заморские и зависимые территории(самое известное - Гибралтар), территории с особым статусом. У одной только Франции подобных владений 13,  а США имеет множество подобных территорий, но при этом на большинстве из них нет постоянного населения(при этом Гавайи могут выделяться в отдельную страну как заморский штат; подобная история была и с СССР(член ООН), в котором Литва, Беларусь и Украина были также одновременно были членами ООН). Таким образом, с учётом описанных выше территорий можно прибавить ещё 69 стран, итого 275. Ещё раз отмечу, что к государствам они отношения не имеют.

Далее можно выделить неотъемлемые территории государств, но при этом значительно удалённые от метрополии. Это уже упомянутые Гавайи или, например, Канарские острова и автономные города Испании и Португалии. У Китая тоже есть автономные города, но они относятся к территориям с особым статусом(до 1997 года Сингапур был автономным городом Великобритании). Всего таких территорий 6. Итого - 281.

Есть ещё Мальтийский Орден, который может выделяться даже как государство. То есть ещё одна страна в копилку. 

Теперь начинается самое интересное и то, чему нельзя или очень сложно вести подсчёт. Для начала возьмём запрещённую на территории РФ организацию Исламское Государство. Считать ли это страной или же террористической группировкой сложный вопрос. С одной стороны, оно никем не признанно и не имеет дипломатических отношений, однако независимость была провозглашена и это может поставить ИГИЛ в один ряд с той же Страной Басков.

Упомянутая выше Страна Басков относится к провозгласившим независимость, но не признанным никем странам. Список подобных стран будет очень условен(в силу географического несоответствия и большого временного промежутка(притязания на суверенитет могут исчезать в связи культурной или этнической ассимиляции народов, претендующих на независимость и подобных причин) и нельзя назвать точное число входящих в него стран. Однако его можно разделить на страны имеющие центральное правительство и контролирующие территорию(порой и условную) и соответственно, страны не имеющие центрального правительства и контролируемой территории. К первому типу можно отнести Северную Сахару и Сомалиленд. Ко второму Иракский и Турецкий Курдистан, Халистан, Тибет, Восточный Туркестан, Трансильванияю, Оквитанию, Шотландию, Северную Ирландию, Страну Басков, Каталонию и множество других. И это только те, кто на данный момент имеют реальные(хоть и спорные и скорее всего не осуществимые) притязания на суверенитет. Если брать исторические притязания, то та же Испания получилась в результате слияния трёх стран(третья - Наварра),  а они в свою очередь включают ещё больше стран. И  это я молчу про Германию, образованную из огромного числа стран и имеющею немалое количество субэтносов(Бавария самое крупное и потенциально имеющее больше всего шансов к суверенитету). Ну а Великобритания является самым известным примером. При этом регион или страна Северная Ирландия является спорной территорией с Ирландией. И тут появляется новый тип - спорные регионы, которые тоже выделяются в страны. А спорных территорий ещё больше, чем непризнанных стран. Арктика также относится к этому типу. 

В добавок к этому есть военные и военно-морские базы, являющиеся частью государств, которым они принадлежат, но в силу их удалённости, являются территориями с особым статусом. 

Но и это не конец. Существует тип так называемых "виртуальных" государств, который я принципиально не признаю. Подобных "стран" огромное количество и это число не контролируемо. Единственное, их также можно разделить на имеющие непосредственно территорию(самое известное - Силенд, контролирует морскую платформу, также это может быть что угодно - деревня, квартира, территория квадратом метр на метр) и не имеющие никакой территории и не претендующее на неё, существующие только в сети Интернет.

Случай с Великобританией наводит на мысль о количестве стран. Если Великобритания - это четыре страны(не считая заморских владений и зависимых территорий) - Англия, Шотландия, Уэльс и Северная Ирландия, то что брать в качестве числа для списка стран. Четыре или один, или может сразу пять(с учётом самого государства Великобритания), но это приводит к парадоксу.