Вопрос касается только квадрата скорости, а не вывода формулы кинетической энергии (из определения работы, полной энергии), чем заполнен весь интернет.
Ответить можно на основе простых рассуждений.
✧ Известно, что кинетическая энергия (E) — скаляр и зависит от скорости (V), которая величина векторная. Скалярным является модуль вектора скорости V ≡ |V| = √(Vx² + Vy² + Vz²).
✧ Известно, что энергия — величина аддитивная и Е = Ex + Ey + Ez, где Ex, Ey, Ez — кинетические энергии трех независимых направлений движения (x, y, z).
Обеспечить эти два условия можно только квадратичной зависимостью кинетической энергии от скорости в виде: Е = δmV², где коэффициент пропорциональности m должен быть массой, исходя из соображений размерности, а безразмерная величина (δ = ½) может быть получена из эксперимента.
Ответ прост - потому что интеграл от скорости. Вот пример. Зависимость скорости от ускорения V=a*t Тут всё понятно - умножаем ускорение на время. А интеграл от скорости - это пройденный путь. По таблице интегралов получаем S=at^2/2. Ничего не напоминает? Правильно - формулу кинетической энергии, только там интеграл по скорости, вот и получается mv^2/2
Вопрос дурацкий. Ответ простой: именно так определяется величина, называемая кинетической энергией. Если задать вопрос иначе, откуда взялась эта величина, то ответ такой: это следствие второго закона Ньютона и определения работы. Тогда оказывается, что работа равна приращению кинетической энергии.
Петька и Василий Иванович поступили на физтех. Сели на электричку, которая не останавливается на Новодачной, решили спрыгнуть, Петька нормально приземлился, а Василий Иванович ударился о столб, держится за голову и бормочет: «Хорошо, что пополам…»...
Да, но в квадрате
Ну вот прикиньте, в четырёх килограммах пороха энергии в 4 раза больше, чем в одном килограмме. Вот вы кладёте 1 кг пороха в пушку и стреляете чугунным ядром. Измеряете скорость ядра. Например, 100 м/с.
Теперь берёте 4 кг пороха и стреляете тем же самым ядром. Думаете, ядро полетит со скоростью 400 м/с? Фигушки, всего 200 м/с.
И не спрашивайте меня, почему. Так природа устроена.
Потому что это среднее ускорение двух взаимодействующих тел (тела и остальной среды). Двойка в знаменателе выражает произведение двух единичных временных отрезков каждого из участников взаимодействия.
См. гл. Лишний закон Ньютона, стр. 109-127
https://rusneb.ru/catalog/000200_000018_RU_NLR_BIBL_A_012223654/