Когда и в связи с чем дети стали обращаться к своим родителям на "ты"?

Примерно тогда же, когда сформировались местоимения. То есть очень давно. В связи с тем, что надо как-то обращаться.

Если же вас интересует, когда сменилось обращение "вы" на "ты"... то я вас расстрою. Изначально обращались на "ты" ко всем. И к незнакомым, и к старшим, и к родителям, и к царям. Потом Пётр внедрил обращение на "вы" к одному человеку, по подобию французского. Но прижилось практически только у элиты. Но элита кончилась сто лет назад...