Alpha Centaurus
декабрь 2018.
3060

Помогите пожалуйста. Нужно найти данный предел. Онлайн калькулятор не выдает никакого результата lim(x*ln(x+3)/ln(x^2 + x)) x->+oo?

Ответить
Ответить
Комментировать
2
Подписаться
0
2 ответа
Поделиться

Итак, перед нами предел х --> oo lim(x*ln(x+3))/ln(x^2 + x). 

Напомню, что при стремлении величины к бесконечности, добавление к ней константы не меняет её порядка, поскольку при её неограниченном росте другие величины становятся пренебрежимо малыми. Считаю допустимым при некоторых случаях отбрасывать константы. Это как с площадью под параболой: в реальной формуле к x^3/3 прибавляется ещё ряд слагаемых, неограниченно уменьшающихся вследствие dx --> 0. Их потом просто отбрасывают. В нестандартном анализе, например, так уже не делается - бесконечно малые всё равно вносят свой вклад.

Поэтому после некоторых элементарных преобразований над исходным пределом сделаем замену x = t.

x -> oo lim (x*ln(x+3))/ln(x^2 + x) = (x * ln (x+3))/(ln (x*(x+1)) = (x * ln (x+3))/(lnx + ln(x+1)) = (t*ln t)/(ln t + ln t) = t*ln t/2*ln t  = t/2 = t = oo.

Можно решить вторым способом, более традиционным: применить правило Лопиталя (на самом деле Бернулли), и продифференцировать числитель и знаменатель. Получим: 

(ln x)' = 1/x; (ln x^2)' = 2/x. Т.к. неопределённостью является деление логарифмов, первый множитель х можно вынести из дроби, и дифференцировать будем только оставшиеся там множители. Потом просто снова внесём х в числитель:

x --> oo lim (x*ln(x+3))'/ln(x^2+x)' = x/(x+3) : (2/x) = t/t * t/2 = t/2 = t = oo.

6
0
Прокомментировать

Первый же способ нахождения подобных пределов -- правило Лопиталя приведёт вас к ответу.

ПС
Хотя ответ то и на глаз очевиден, исходя из скорости роста функций (ну это так, 140 символов хД)

6
-3
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью