Почему не бывает отрицательной системы счисления?

404
1
0
12 октября
22:00
октябрь
2015

Это математика, и в математике все, что не запрещено, разрешено. А запрещать некому!

Иными словами, вы не поверите, но отрицательные системы счисления бывают. Они называются нега-позиционными (тогда как обыкновенные, положительные системы счисления назваются просто позиционными).

В позиционных системах счисления значение каждой цифры зависит от ее позиции в записанном числе. Точнее, каждая цифра символизирует множитель перед выбранным основанием системы, возведенным в степень, равную позиции цифры справа (начиная с нуля). Ну, это все знают и это скучно.

Десятичная система счисления:

245₁₀ = 2×10² + 4×10¹ + 5×10º = 200 + 40 + 5

Вопрос в том, почему нельзя взять вместо основания 10 основание –10? И правда, почему бы и нет?

Нега-десятичная система счисления:

245₋₁₀ = 2×(–10)² + 4×(–10)¹ + 5×(–10)º = 200 – 40 + 5 = 165₁₀

Вуаля. Запись в нега-десятичной системе позвоялет представлять даже отрицательные числа без использования знака минус. Фактически, знак определяется количеством цифр. В записи положительных чисел нечетное количество цифр, в отрицательных — четное:

2₋₁₀ = 2

22₋₁₀ = –20 + 2 = –18

222₋₁₀ = 200 – 20 + 2 = 182

При этом любое число, разумеется, записать можно. Например, чтобы получить +18, придется от 100 отнять 90 и прибавить 8: 198₋₁₀ = 18.

Это не худший случай. Существуют системы счисления с компленсными или мнимыми основаниями. Они позволяют записывать комплексные числа, не прибегая к использованию мнимой единицы.

Если вы найдете что-то, чего в математике не бывает, просто создайте это сами. Так когда-то появились комплексные числа, отрицательные числа, дроби, число ноль... да что там, вся математика именно так и появилась! Сегодня найти несуществующую математическую концепцию на поверхности действительно сложно.

P.S.

Что же касается именно отрицательных систем счисления, распространения эта идея не нашла. Не только широкого, но и почти никакого. Зато был разработан весь арифметический аппарат, и нега-позиционные системы как инструмент в принципе готовы к использованию на случай, если однажды им найдется применение. Просто инструмент довольно экзотичный.

В целом у таких систем счисления нет преимуществ за исключением отсутствия необходимости в особой записи для отрицательных чисел. Это преимущество они компенсируют увеличенной в среднем длиной чисел и усложненной арифметикой. Если переформулировать ваш вопрос как «почему отрицательные системы счисления не используют», то ответ будет именно таким. Неудобно.

Впрочем, в середине прошлого века в Польше был создан компьютер, реализующий нега-двоичную арифметику. Он пригодился для разминки мозгов его создателей и тех, кто позже с ним работал.

11
2
Если вы знаете ответ на этот вопрос и можете аргументированно его обосновать, не стесняйтесь высказаться
Ответить самому
Выбрать эксперта