Теперь Кью работает в режиме чтения

Мы сохранили весь контент, но добавить что-то новое уже нельзя

Что такое комплексные числа, и для чего они нужны?

МатематикаАлгебра+3
Анонимный вопрос
  · 38,1 K
Интересующие темы: история математики, история христианства, библеистика.   · 12 мар 2022
Комплексные числа — это пара действительных чисел и применяются везде, где вам нужно работать с... парой действительных чисел.
Если по-научному, то речь идет об ассоциативной алгебре над R, являющейся векторным пространством над R с умножением. Этому максимально общему определению удовлетворяет сразу несколько разных математических объектов, одним из которых, как раз, и являются комплексные числа.
Изначально необходимость в комплексных числах появилась при решении кубических уравнений, когда корни и коэффициенты действительные, но в промежуточных вычислениях по формуле Кардано возникла необходимость в дополнительном объекте, квадрат которого равен -1 . Позже его назовут мнимой единицей - i , а содержащие этот объект числа вида a + b*i — комплексными. Позже необходимость в комплексных числах подтвердилась при формулировании Основной Теоремы Алгебры, наивная формулировка которой утверждает, что количество основных корней многочлена равно его степени.
Дальнейшие исследования показали, что с тригонометрической и экспоненциальной формой комплексных чисел удобно описывать разные колебательные и периодические процессы, благодаря чему комплексные числа получили популярность, например, в электротехнике. Также ими удобно описывать композиции поворотов (причем, гораздо удобнее, чем при помощи углов Эйлера), благодаря чему комплексные числа получили распространение в 2D графике (а кватернионы, соответственно, в 3D графике).
Можно ли обойтись вообще без комплексных чисел? Можно, конечно. Просто, с ними многое описать удобнее и короче. С их практическим применением Вы можете столкнуться как в прикладных областях, вроде ТОЭ, 2D графики и даже отдельных разделов экономики, так и в фундаментальных дисциплинах, вроде магнитодинамики, квантовой механики и Общей Теории Относительности.
Вообще, в конструировании числовых систем парами нет ничего необычного: целые и рациональные числа тоже конструируются кортежами и это никого не смущает. Ну а вот комплексные конструируются как пара действительных. Это, кстати, не единственная возможная двумерная алгебра и конструкция над действительными числами. Парами чисел можно также конструировать гиперкомплексные числа, такие как, например, дуальные числа Клиффорда. Они записываются в виде: a + ε * b, где ε^2 = 0, но ε ≠ 0 . Или расщепляемые комплексные (они же паракомплексные, они же контркомплексные, они же гиперболические), где каждое число представлено в виде a + j * b, где j^2 = +1 , но j ≠ 1. Этими вариантами возможное количество двумерных алгебр не исчерпывается.
Зачем всё это нужно? Числовые системы — это, как бы, такие "языки", "словами" которых можно составить те или иные формальные высказывания и описывать действительность.
Математика — это язык.
1 эксперт согласен
Называть комплексное число парой вещественных -- некоторое преувеличение, но в целом всё так.
к.ф.м.н., доцент МФТИ, с.н.с. Института Проблем Управления.  · 12 мар 2022
Определений и свойств у комплексных чисел очень много, все не перечислишь. Я бы отметил такой аспект: комплексные числа можно понимать как алгебраическое замыкание вещественных чисел. Если по-просту, то это такая (минимальная!) система в которой все алгебраические уравнения разрешимы. К примеру уравнение x^2-1 =0 не сложно решить над вещественными числами. Есть два... Читать далее
Математика, политика, высшая школа и хейт спичПерейти на t.me/forodirchNEWS
А можем ли так замкнуть, что и все уравнения вида y=x/0 будут решены?
Миллениал (inst: @p3wx2)  · 30 нояб 2018
> Для чего они нужны? Если вопрос в применении в быту, то не нужны. Как и не нужны многие другие сложные математические формы (логарифмы, радикалы, ...) . Ибо в жизни нам не нужны сложные переходы, мы и функции используют только интуитивно – вы параболу не рассчитываете по формуле, кидая предмет, вы просто используете знание траектории полёта и её зависимости от угла и... Читать далее
Ещё в электроэнергетике нужны. Реактивная мощность - должны были слышать. И эту уже не просто теории, а... Читать дальше
механик  · 30 нояб 2018

Примерно для того же, для чего нужны отрицательные, а так же иррациональные и рациональные - чтобы ловко и умело решать всякие задачи, которые не решаются в простых и умозрительные натуральных числах.

Первый

Комплексные числа нужны для описания тех процессов, которые мы не "видим". Допустим, как ток течет в электрической цепи, как он проходит через разные сопротивления, конденсаторы и тд.

Очень важно, что для описания того как ток течет в цепи  использование комплексных чисел порой не нужно. как он... Читать дальше