Точно не знает никто, но: в самых ранних версиях шахмат в Индии и Персии, эта фигура называлась "пиль" или аль-филь, что значит "слон". Формой её напоминает или седло с будкой, в которой сидел погонщик слона; или просто бивень слона.
Когда шахматы попали в Западную Европу, то о слонах там знали только понаслышке. В одной из самых ранних испанских текстов об играх, эту фигуру назвали кокатриса (типа крокодил). По-испански так и остался alfil, что ничего не значит, просто арабское слово. А например, в Италии ее перезвали alfiere - знаменосец, что фонетически похоже на аль-филь. В Англии, до 16 века же фигуру называли archer - стрелок из лука, и на некоторых других языках так и называют. Потом, возможно, решили, что "будка" похожа на митру - головной убор епископа, и перезвали фигуру bishop - епископ. По-французски он fou - шут (может тоже по аналогии с шапкой шута; и по румынски так), по-немецки läufer - бегун/связной/гонец, а почему - просто так случайно получилось, может потому, что он так ходит... А по-монгольски он верблюд.
Про «пиль» не знал. Интересно, но на иврите слон тоже «пиль», но в шахматах эта фигура называется «параш»- всадник.