Egor Churilov
ноябрь 2018.
536

Математика 21 века, какая она ?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
2
1 ответ
Поделиться

Она огромная. Её очень много. Эйлер был гением и держал в голове всю существенную математику своего времени. Сегодня вряд ли такое под силу даже гению.

Она строгая. Все объекты, над которыми проводятся рассуждения, должны иметь чёткие определения, все выводы -- чёткие логические обоснования. В основе всего обычно лежит теория множеств или теория категорий.

Она обожает связи между далёкими и, казалось бы, не связанными областями математики. В другом ответе я приводил примеры: программа Ленглендса, moonshine.

Она вооружена компьютерами. Окончательное доказательство гипотезы Кеплера было записано в виде, похожем на компьютерную программу, и проверено компьютером.

Она глобальная, как и вся остальная наука: полноценная работа возможна лишь в контакте с коллегами по всему миру. И в то же время в математике по-прежнему бо́льшую роль, чем в любой другой науке, играют конкретные отдельные яркие личности и отношения между ними.

2
0

Думаю, что теория множеств в каком-то смысле уже устарела - она уже не является настолько фундаментальной для математики как это было в прошлом. На первом плане сегодня теория категорий.

+1
Ответить

Отчасти да... Скажем так, это предмет горячих споров. Целые книги пишут о том, основывается ли сама теория категорий на теории множеств или нет.

А ещё есть унивалентные основания, которые тоже претендуют на статус  фундамента математики.

+1
Ответить
Ещё 5 комментариев

А о чём тут спорить? Теория категорий ведь объясняет больше, чем теория множеств. И второе есть частный случай первого. Вспомнить хотя бы категорию множеств - теория множеств к таким структурам не чувствительна, она их попросту не видит и не понимает.

Про унивалентные основания впервые слышу, надо будет почитать.

0
Ответить

Да, видимо, вы правы. Отредактировал ответ соответственно.

0
Ответить

Я не критиковал вас, если что. Просто общался на интересующую меня тему.

0
Ответить

Всё в порядке. :)

Просто я помнил, что некоторое время назад разбирался в вопросе о том, нужна ли теория множеств для теории категорий, но не совсем верно помнил выводы: 1) теория категорий может существовать без теории множеств; 2) что лучше подходит в качестве оснований математики -- вопрос дискутивный. Например, здесь пишут: "Arguments have been advanced for and against category theory as a foundational framework. (...куча ссылок...) This matter is further complicated by the fact that the foundations of category theory itself have yet to be clarified." А в начале приводят возможное определение категории и связанных понятий, про которое сказано: "This is the definition one finds in most textbooks of category theory. As such it explicitly relies on a set theoretical background and language." Что как будто означает, что теорию категорий таки можно построить на теории множеств -- но при этом, кажется, она станет менее могучей. Или нет, я не уверен, честно говоря. См. также обсуждение на MathOverflow.

+1
Ответить

Ну если так смотреть, чисто исторически так к этой теории и пришли, поптавшысь понять, какую структуру даёт нам алефическая шкала несобственного класса всех множеств. А поскольку удалением одного элемента его особенности не устраняются, получается, у него есть и свои подклассы. Отсюда уже при желании можно вывести такие вещи как категорию множеств, функторы, классификаторы, и т.д. Не уверен, что этого достаточно для полноценной теории категорий.

Но если почитаем, скажем, "Не совсем наивную теорию множеств" петербургского алгебраиста Н. Вавилова, там он вполне определённо утверждает, что теория множеств - самое крупное событие в математике.

+1
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью