Иван Перфилов
ноябрь 2018.
2621

Каков смысл чисел 4 и 2 в формуле x=-b+-√b^2-4ac/2a? В геометрической задаче,которую можно отобразить через квадратное уравнение,эти числа никак не фигурируют.?

Ответить
Ответить
Комментировать
0
Подписаться
0
1 ответ
Поделиться

Двойка в знаменателе появляется как комбинаторный Биномиальный коэффициент для C(2, 1).
Четвёрка под радикалом -- чисто технически получается из тех же соображений (ну либо как результат calculus'a -- т.е она никак не связана с "геометрическим" определением параболы).

  1. Как мы помним парабола определяется фокусом и прямой, и построением, при котором отрезки ОО_1 и О_1О_2 равны.
  1. Теперь если рассмотреть это определение параболы и попытаться вывести значения корней уравнения (х_1 и х_2 из определения конического сечения), то получим что значение a * x^2 в знаменателе получает "2" как раз из-за биномиального коэффициента С(2, 1). Хотя объяснение по-моему так себе.
    Коэффициенты под дескриминантом по существу никакого "простого" объяснения не имеют.

ПС Если же идти чисто алгебраически (без геометрических определений коники, то получим такой вывод):
1.
Ф-ия f(x) = a*x^2 + bx + c, имеет единственных экстремум, в точке x0. И график этой функции симметричен относительно этого экстреумуа, тогда:
x0: f(x0) -- точка экстремума => x0: f'(x0) = 0 => (a * x0^2 + b * x0 + c)' = 0 => 2a * x0 + b = 0 => x0 = -b/2a.
Тут следует отметить, что (x^2)' = lim, δx -> 0, (x + δx)^2 / δx;
lim, δx -> 0, (x^2 + 2 * x*δx + δx^2) / δx ... = 2*x;
Вот выделенная жирным двойка --  как раз и появляется как биномиальный коэффициент.

  1. Поскольку ф-ия f(x) имеет единственный экстремум (в тчк x0 = -b/2a), то нахождение корней эквивалентно нахождению Δx: f(x0 ± Δx) = 0;
    Найдём f(x0 + Δx) = 0; для f(x0 - Δx) выкладки будут аналогичны:
    (1): f(-b/2a + Δx) = 0;
    (2): f(x) = a*x^2 + bx + c = a* (x^2 + bx / a + c/a) = a* ( (x + b/2a)^2 + c/a - b*b/4*a*a)
    (1) и (2): f(-b/2a + Δx) = 0 =>
    a* ((-b/2a + b/2a + Δx)^2 + c/a - b*b/4*a*a) = 0 =>
    Δx = sqrt( (b/2a)^2 - c/a) ) =>
    2a * Δx = sqrt( b^2 - 4ac) / 2a.

"Можно натянуть сову на глобус", что под корнем квадратным долежн быть коэф-т (1/4), что является обратным квадратом биномиального коэфициента C(2, 1).

3
-3

Вы, несомненно, правы, но всё-таки приводите алгебраический аргумент, а не геометрический, хотя и я не совсем понимаю, что имел в виду автор вопроса под вторым.

+2
Ответить

Мда хороший вопрос как перейти от "геометрического" определения (как равенства отрезков от фокуса, до оси абсцисс) к координатному, надо подумать.

0
Ответить

Саша геометрические построения через конические сечения дают примерно ту же картину -- коэффициент при х^2 получается из-за раскрытия формулы "квадрата разности", т.е. С(2, 1).
Коэффициент под радикалом -- никакого "простого и ясного" обоснования не имеет.

+1
Ответить

А я так и не смог это вывести )

Мне нравится.

0
Ответить
Прокомментировать
Ответить
Читайте также на Яндекс.Кью
Читайте также на Яндекс.Кью